PageRank算法及优化 综述报告
看完这些论文的感觉：Google提出了PageRank，之后十几年 一人改一点，就能一人写一篇论文（雾）。
你一改 我一改 大家明天都能毕业
但WPR(VOL)和EWPR(VOL)真的毫无创新性，上一个算法提出后隔年就发出来了，感觉好水。
说是综述报告，其实就是为了作业随便写的，随便看看就好。
前言
关于PageRank的研究成果有很多，但与无权图相比带权图的算法仍然较少。
因为个人目前水平和时间问题，只对PageRank及Weighted PageRank优化方向的几个简单算法进行介绍。
Simplified PageRank
L. Page, S. Brin等1于1998年提出简化的PageRank算法：
其中：(u)表示某个网页，(PR(u),PR(v))分别为(u,v)网页的排序值（网页的排名得分，即rank score），(B(u))为连向(u)的网页集合，(N_v)为(v)的出度，(c=1.0)为factor used for normalization（标准化参数？）。
所有网页的排序值(PR(x))可以通过迭代若干次计算。
但是，当一个网络中存在两个点及以上的环，且该环没有出边时，这个环会积累其它网页的排序值而不会传递出去，使得所有连向该环的网页的排序值变为(0)，不合实际。这个问题叫做rank sink。
PageRank
为解决rank sink，L. Page, S. Brin等1根据随机游走将简化的PageRank改为：
其中：(d)为dampening factor（不跳出概率？），通常设为(0.85)。
相比Simplified PageRank，该算法考虑了用户在浏览网页时有概率跳出当前浏览的网页，而任意再选择其它网页的情况，从而避免了rank sink。
作者测试了该算法，大概在(O(log n))次迭代后排序值会收敛。
Weighted PageRank (WPR)
PageRank算法的每次迭代，将每个网页的排序值平均分给了它指向的网页。但在实际中，同一网页指向的不同链接的重要性可能不同，分到的排序值也应不同。
Wenpu Xing, Ali Ghorbani2在2004年发表Weighted PageRank Algorithm，提出了Weighted PageRank(WPR)算法：
(W_{(v,u)}^{in})表示：考虑(u)的入度和(v)连向的所有点的入度，(v o u)这条边该分配(v)的多少权值：
其中：(I_u)表示(u)的入度，(R(v))表示(v)连向点的集合。
(W_{(v,u)}^{out})表示：考虑(u)的出度和(v)连向的所有点的出度，(v o u)这条边该分配(v)的多少权值：
其中：(O_u)表示(u)的出度，(R(v))表示(v)连向点的集合。
作者认为，一个网页越受欢迎，连向它的网页和它连出的网页越多。所以WPR根据(v)指向网页集合(R(v))中点的出度和入度，分配(v)的排序值。这样(v)排序值会更多地分配到更受欢迎的网页上，而不是均分。
作者实验表明：将WPR用于搜索，得到的结果的相关性高于传统PageRank算法。
PageRank based on Visits of Links (VOL)
Gyanendra Kumar等3在2011年发表Page Ranking Based on Number of Visits of Web Pages，提出了Page Ranking based on Visits of Links(VOL)算法：
其中(L_u)表示通过链接(v o u)访问(u)的次数，(TL(v))表示(sum_{uin R(v)}L_u)，即通过(v)上的链接访问其它网页的总次数。
该算法考虑了用户的浏览倾向，根据用户的实际浏览行为（链接的访问数）决定哪个网页更受欢迎，将更多的排序值分配到用户浏览最多（更受欢迎）的网页上。
VOL与之前算法相比具有如下特点：
- 具有动态性，更符合网页搜索的特性。
- 结果不是仅与网络结构相关，还与用户行为有关，更具目标导向性；而之前算法中，网页的排序值与用户实际访问该网页的情况无关。
- 用户可以在搜索的同时提高该算法的准确性。
- 一大问题是，需要动态统计每个网页上用户的浏览行为。
综上，VOL比传统PageRank的搜索结果更相关，但也带来了具体实现的问题。
Weighted PageRank based on Visits of Links (WPR(VOL))
Neelam Tyagi, Simple Sharma4在2012年发表Weighted Page Rank Algorithm Based on Number of Visits of Links of Web Page，提出了Weighted PageRank based on Visits of Links(WPR(VOL))算法：
其中：(WPR_{VOL}(u))是WPR(VOL)算法计算出的(u)的重要性(PR(u))，(W_{(v,u)}^{in})是WPR中，考虑(u)的入度和(v)连向的所有点的入度，(v o u)这条边该分配(v)的多少权值：
因为VOL算法中考虑了出度影响的受欢迎程度（即(frac{L_u}{TL(v)})），作者没有使用(W_{(v,u)}^{out}=frac{O_u}{sum_{pin R(v)}O_p})。
该算法将WPR（网页的受欢迎程度）与VOL（用户的实际浏览行为/链接的访问数）结合，按照另一种比例分配排序值。
WPR(VOL)的特点、问题与VOL基本相同，但搜索结果相关性更强。
但是作者在所给例子的计算过程中，(R(u))与(B(u))搞混了，结果都是错的，这也能发论文吗。（下面EWPR(VOL)中这里没有错）
Enhanced Weighted PageRank based on Visits of Links (EWPR(VOL))
Sonal Tuteja5在2013年发表Enhancement in Weighted PageRank Algorithm Using VOL，对WPR(VOL)算法进行了优化：
改进的原因是，作者认为WPR(VOL)算法中没有考虑(W_{(v,u)}^{out})（事实上考虑过这点），需要加上，于是就乘了个(W_{(v,u)}^{out})然后发了篇新论文。
但是，公式中的(WPR_{VOL})是指WPR(VOL)还是EWPR(VOL)中的网页排序值？
如果是前者，那代入后完整公式应为：
为什么(W_{(v,u)}^{in})就要算两次？作者没有说明(W^{in},W^{out})为什么不同。
如果是后者，那EWPR(VOL)与WPR算法不一样吗？
下面有作者给出的例子，例子与介绍VOL算法中的例子相同，包含visit of links。但是，给出的计算过程中没有出现形如(frac{L_u}{TL(v)})的对visits的考虑。所以上面问题答案是后者，那例子中的EWPR(VOL)就是WPR（迷惑起来了）。
然后作者给出了WPR与EWPR(VOL)在(d)取不同值时的不同结果，这个不同结果是如何得出来的？所以个人认为是作者的例子计算过程写错了，公式也有问题。
公式应为：
可能是我水平低吧，我认为这篇论文/这算法和CtrlCV没区别，还有问题，这期刊随便发吗。
局部近似算法（基于(Push)操作的APXPR算法）
彭茂、张媛6在2016年发表《带权网络的个性化PageRank计算_彭茂》，提出了基于(Push)操作的PageRank计算方法，其时间复杂度优于传统迭代算法。
记(s)为PageRank中各点排序值构成的向量，(p(s))为计算后的(s)向量，(W)为状态转移矩阵，(alpha=1-d)为跳出概率。则可知(p(s))为如下方程的唯一解：
传统迭代算法可表示为：
算法的误差限通常定义为：(||p^k-p^{k-1}||leqvarepsilon)，时间复杂度为(Oleft(frac{mlogvarepsilon}{log(1-alpha)} ight))。
作者给出了带权图的一个近似PageRank计算方法，复杂度上界为(Oleft(frac{Delta}{varepsilonalpha} ight))，其中(Delta)为图顶点的最大出度。算法如下。
若(r)为非负向量，且对任意顶点(v)有(r(v)leqvarepsiloncdot outdgree(v))，则称向量(p(s-r))为PageRank向量(p(s))的(varepsilon-)近似。
该算法持续更新一个向量对((p,r))，使其始终满足：
即
算法初始时(p=0,r=s)，(p,r)通过如下(Push)操作更新（(p',r')为(Push)操作后所得向量）：
对某个点(u)：
- (p'(u)=p(u)+alphacdotetacdot r(u))
- (r'(u)=r(u)-etacdot r(u)+(1-alpha)w_{u,u}cdotetacdot r(u))
- (r'(v)=r(v)+(1-alpha)w_{u,v}cdotetacdot r(u))（对所有满足((u,v)in E)的(v)）
未更新的(p'=p,r'=r)。
若(W=D^{-1}A=(w_{ij})_{n imes n})为转移矩阵，则(w_{u,u}=0)；(eta)为预设值，默认为(frac12)。
可知(p=p(s-r)Rightarrow p'=p(s-r'))。
因为(Push)过程可以看做，(r)中的某些概率转移到了(p)中，所以对所有满足(r(u)geqvarepsiloncdot outdgree(u))的点执行(Push)操作，可得到如下计算(varepsilon-)近似PageRank向量方法：
ApxPR(s, α, ε)
Let p=0 and r=s
while r(u)>ε*outdgree(u) for some vertex u
Pick any vertex u where r(u)>ε*outdgree(u)
Apply Push(u)
return p and r
作者证明了该APXPR算法时间复杂度为(Oleft(frac{Delta}{varepsilonalpha} ight))，其中(Delta)为图顶点的最大出度，远优于迭代算法的(Oleft(frac{mlogvarepsilon}{log(1-alpha)} ight))。
该算法也支持动态带权网络修改，更新网络一条边的复杂度为(Oleft(frac{Delta}{varepsilonalpha^2} ight))，且实际计算时间会小很多。而传统幂迭代法只能重新计算。动态网络的计算这里不再展开。
此外，作者介绍了蒙特卡洛策略计算PageRank向量的方法，也支持在线更新网络。对于一个(n)个顶点、(m)条边的图，保持(m)条边持续更新的复杂度为(Oleft(frac{nRf}{alpha^2} ight))。
作者通过实验得出：
- 静态图中(Push)算法与蒙特卡洛算法均优于幂迭代法；图的稠密度较高时蒙特卡洛算法优于(Push)算法。
- 动态图中，在图的更新量较少时，(Push)算法优于蒙特卡洛方法。
代码实现
对WPR(VOL)算法与ApxPR算法的简单实现（节点数较小时）。
在节点数、边数不大时，算法实现很简单，但当节点数很大，即现实中网页数非常多时，可能需要改进实现方法。
Weighted PageRank based on Visits of Links
每次迭代复杂度为(O(n+m))。
/*
Sample Input:
3 4
1 3 2
3 1 2
1 2 1
2 3 2
Output:
WPR[1]=0.6319057
WPR[2]=0.2096800
WPR[3]=0.5669479
*/
#include <bits/stdc++.h>
#define pc putchar
#define gc() getchar()
#define pb emplace_back
typedef long long LL;
const int N=1e3+5;
const double d=0.85;
inline int read()
{
int now=0,f=1; char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=='-'&&(f=-1),c=gc());
for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
return now*f;
}
struct Edge
{
int v,w;
};
struct Graph
{
std::vector<int> e[N];
};
struct PageRank
{
Graph R,B;
int n,L[N][N],TL[N],I[N],O[N];
double WPR[N],W_in[N][N],W_out[N][N];
void AddEdge(int w,int v,int u)
{
R.e[u].pb(v), B.e[v].pb(u);
++I[v], ++O[u], L[u][v]+=w, TL[u]+=w;
}
void Output()
{
for(int i=1; i<=n; ++i) printf("WPR[%d]=%.7f
",i,WPR[i]);
}
void WPRVOL()
{
for(int u=1; u<=n; ++u)
{
double sum=0;
for(auto v:B.e[u]) sum+=L[v][u]*WPR[v]*W_in[v][u]/TL[v];
WPR[u]=1-d+d*sum;
}
}
void Calc()
{
//Init WPR
for(int i=1; i<=n; ++i) WPR[i]=1;
//Calc W_in W_out
for(int u=1; u<=n; ++u)
{
if(!R.e[u].size()) continue;
int sumI=0,sumO=0;
for(auto v:R/*B*/.e[u]) sumI+=I[v], sumO+=O[v];//这里WPR(VOL)论文中使用的B(u)
for(auto v:R.e[u]) W_in[u][v]=1.0*I[v]/sumI, W_out[u][v]=1.0*O[v]/sumO;
}
//Calc values iteratively
for(int T=300,t=1; t<=T; ++t)//应该有一个校验误差是否满足的函数，不写了
{
WPRVOL();
// printf("
Iteration %d:
",t), Output();
}
Output();
}
void Init()
{
n=read();
for(int m=read(); m--; AddEdge(read(),read(),read()));
Calc();
}
}PR;
int main()
{
PR.Init();
return 0;
}
局部近似算法
/*
Sample Input:
3 4
1 3 2
3 1 2
1 2 1
2 3 2
Output:
PR[1]=1.2303706
PR[2]=0.4986050
PR[3]=1.2710243
*/
#include <bits/stdc++.h>
#define pc putchar
#define gc() getchar()
#define pb emplace_back
typedef long long LL;
const int N=1e3+5;
const double d=0.85;
const double alpha=1-d, beta=0.5, epsilon=1e-8;
inline int read()
{
int now=0,f=1; char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=='-'&&(f=-1),c=gc());
for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
return now*f;
}
struct Edge
{
int v,w;
};
struct Graph
{
std::vector<int> e[N];
};
struct PageRank
{
Graph R,B;
int n,I[N],O[N],A[N][N];
double p[N],r[N],w[N][N];
void AddEdge(int w,int v,int u)
{
R.e[u].pb(v), B.e[v].pb(u);
++I[v], ++O[u], A[u][v]+=w;
}
void Output()
{
for(int i=1; i<=n; ++i) printf("PR[%d]=%.7f
",i,p[i]);
}
int Exist(double e)
{
for(int u=1; u<=n; ++u)
if(r[u]>e*O[u]) return u;
return 0;
}
void Push(int u,double a,double b)
{
p[u]=p[u]+a*b*r[u];
for(auto v:R.e[u]) r[v]=r[v]+(1-a)*w[u][v]*b*r[u];
r[u]=r[u]-b*r[u]+(1-a)*0*b*r[u];
}
void ApxPR(double a,double e,double b)
{
//Init
for(int i=1; i<=n; ++i) p[i]=0, r[i]=1;
//APXPR
int u;
while(u=Exist(e),u) Push(u,a,b);
}
void Init()
{
n=read();
for(int m=read(); m--; AddEdge(read(),read(),read()));
//Calc wij
for(int i=1; i<=n; ++i)
{
int D=0;
for(int j=1; j<=n; ++j) D+=A[i][j];
for(int j=1; j<=n; ++j) w[i][j]=1.0*A[i][j]/D;
}
//ApxPR
ApxPR(alpha,epsilon,beta);
Output();
}
}PR;
int main()
{
PR.Init();
return 0;
}
总结
PageRank最初的几个算法虽然容易理解，但在当时确实很具有创新性，比如PageRank、Weighted PageRank和PageRank based on Visits of Links。
但是之后的提出的两个算法 WPR(VOL)和EWPR(VOL)，只是简单地将前面的算法进行结合，没太有创新性，且内容都有很大的错误，合理怀疑只是在水论文。
除了幂迭代法，还有很多其它算法，也比迭代法更复杂、有创意。