很多地方用到模运算，这里说明模运算的一些规律，并加以证明。 后续会对这些理论实际的应用加以记录和说明。
1. 模运算是取余运算(记做 % 或者 mod)，具有周期性的特点。 m%n的意思是n除m后的余数，当m递增时m%n呈现周期性特点，并且n越大，周期越长，周期等于n。 例如 0 % 20 = 0，1 % 20 = 1， 2 % 20 = 2， 3 % 20 = 3， ...， 19 % 20 =19 20 % 20 = 0，21 % 20 = 1，22 % 20 = 2，23 % 20 = 3， ...，39 % 20 =19
2. 如果 m % n = r，那么可以推出如下等式 m = k * n + r (k为大于等于0的整数， r <= m）
3. 同余式， 表示正整数a，b对n取模，它们的余数相同，记做 a ≡ b mod n或者a = b (mod n)。 根据2的等式可以推出 a= kn + b 或者 a - b = kn 证明： ∵ a = k1 * n + r1 b = k2 * n + r2 ∴ a - b = (k1 - k2) * n + (r1 - r2) a = k * n + (r1 - r2) + b ∵ a, b对n取模同余，r1 = r2 ∴ a = k * n + b (k = k1 - k2)
4. 模运算规则， 模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下 (a + b) % n= (a % n + b % n) %n （1） (a - b) % n= (a % n - b % n) %n （2） (a * b) % n= (a % n * b % n) %n （3） ab % n = ((a % n)b) %n （4）
（1）式证明 ∵ a = k1*n + r1
b = k2*n + r2
a % n = r1
b % n = r2
∴(a+b) % n = ((k1+k2)*n + (r1+r2)) % n = (r1+r2) % n = (a % n +b % n)% n 得证 （2）式证明同上 （3）式证明 a = k1*n + r1 b = k2*n + r2 (a*b) % n = (k1k2n2+ (k1r2+k2r1)n + r1r2) % n = r1r2 % n = (a %n * b %n ) % n (4)式证明 设 a % n = r ab %n= (a * a * a * a…*a) %n = (a %n * a %n * a %n * … *a %n) %n = rb % n = ((a % n) b) % n
模运算看起来不是很直观，但是可以用来推导出一些有用的东西。 例如（4）式可以用来降幂运算，例如计算6265 3,直接计算的话需要算出6265 利用（4）式可以进行降幂运算。 6265 % 133 = 62 * 6264 % 133 = 62 * (622)32 % 133 = 62 * 384432 % 133 = 62 * (3844 % 133)32 % 133 = 62 * 12032 % 133
= 62 * 3616 % 133 = 62 * 998 % 133 = 62 * 924 % 133 = 62 * 852 % 133 = 62 * 43 % 133 = 2666 % 133 = 6
比如：N%M=r；则有N=M*y+r；
同理：N=M1*y+M1-a；N+a=M1（y+1）；必有（N+a）%M1=0。
注意 a%k%m!=a%m%k a%km%m=a%m%km a%km%k=a%k%km