Bzoj3576 [Hnoi2014]江南乐

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Description

小A是一个名副其实的狂热的回合制游戏玩家。在获得了许多回合制游戏的世界级奖项之后，小A有一天突然想起了他小时候在江南玩过的一个回合制游戏。游戏的规则是这样的，首先给定一个数F，然后游戏系统会产生T组游戏。每一组游戏包含N堆石子，小A和他的对手轮流操作。每次操作时，操作者先选定一个不小于2的正整数M (M是操作者自行选定的，而且每次操作时可不一样)，然后将任意一堆数量不小于F的石子分成M堆，并且满足这M堆石子中石子数最多的一堆至多比石子数最少的一堆多1（即分的尽量平均，事实上按照这样的分石子万法，选定M和一堆石子后，它分出来的状态是固定的）。当一个玩家不能操作的时候，也就是当每一堆石子的数量都严格小于F时，他就输掉。(补充：先手从N堆石子中选择一堆数量不小于F的石子分成M堆后，此时共有N+M-1)堆石子，接下来小A从这N+M-1堆石子中选择一堆数量不小于F的石子，依此类推。
小A从小就是个有风度的男生，他邀请他的对手作为先手。小A现在想要知道，面对给定的一组游戏，而且他的对手也和他一样聪明绝顶的话，究竟谁能够获得胜利？

Input

输入第一行包含两个正整数T和F，分别表示游戏组数与给定的数。
接下来T行，每行第一个数N表示该组游戏初始状态下有多少堆石子。之后N个正整数，表示这N堆石子分别有多少个。

Output

输出一行，包含T个用空格隔开的0或1的数，其中0代表此时小A（后手）会胜利，而1代表小A的对手（先手）会胜利。

Sample Input

4 3
1 1
1 2
1 3
1 5

Sample Output

0 0 1 1

HINT

对于100%的数据，T<100，N<100，F<100000，每堆石子数量<100000。

以上所有数均为正整数。

Source

博弈论 SG函数

显然每一堆都是独立的游戏，而如果把一堆分成m堆，这新的m堆也都是独立的游戏。可以用SG函数求解。

枚举一堆的所有分法，也就是所有子状态，通过它们的SG函数可以求得当前状态的SG函数。由于每次拆分肯定会使数值变小，所以可以递归/递推求解

但是直接枚举分法复杂度很高，不可行。

发现如果把x个石子分成m堆，其中一部分是x/m个，另一部分是x/m+1个，且都是连续出现的。由于异或的结果只和它们出现的奇偶次数有关，所以可以分块优化

于是问题解决了

 1 /*by SilverN*/
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cstdio>
 6 #include<cmath>
 7 using namespace std;
 8 const int mxn=100010;
 9 int read(){
10     int x=0,f=1;char ch=getchar();
11     while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
12     while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
13     return x*f;
14 }
15 int n;
16 int sg[mxn];
17 int vis[mxn];
18 void init(int un){
19     int i,j;
20     for(i=0;i<un;i++)sg[i]=0;
21     for(i=un;i<mxn-10;i++){
22         int pos;
23         for(j=2;j<=i;j=pos+1){
24             int k=i/j;
25             int x=i%j;//数量为i/j+1的堆数 
26             int y=j-x;//数量为i/j的堆数 
27             pos=i/k;
28             vis[sg[(y&1)*k]^sg[(x&1)*(k+1)]]=i;
29             if(j+1<=min(i,pos)){
30                 ++j;
31                 x=i%j;y=j-x;
32                 vis[sg[(y&1)*k]^sg[(x&1)*(k+1)]]=i;
33             }
34         }
35         for(j=0;;j++){
36             if(vis[j]!=i){
37                 sg[i]=j;
38                 break;
39             }
40         }
41     }
42     return;
43 }
44 int main(){
45     int i,j,x,ans;
46     int T=read(),F=read();;
47     init(F);
48     while(T--){
49         ans=0;
50         n=read();
51         for(i=1;i<=n;i++){
52             x=read();
53             ans^=sg[x];
54         }
55         if(ans)ans=1;
56         else ans=0;
57         printf("%d",ans);
58         if(T)printf(" ");
59     }
60     return 0;
61 }