浅谈RMQ
Today，我get到了一个新算法，开心....RMQ。
今天主要说一下RMQ里的ST算法(Sparse Table)。
RMQ(Range Minimum/Maximum Query)，意思是对于一段区间，查询最大值或最小值的一种数据结构。首先，我们很容易想到线段树，时空复杂度均为O(nlogn)，但是RMQ的优越之处就在于它查询是O(1)的。
首先，我们先说一下RMQ的大体思想。用动态规划的想法来预处理出一些强大的式子。我们定义f[i][j]，这是RMQ算法最核心的地方，关于f数组的定义。我们容易想到是i到j之间的最小值，但是在转移或者是处理上都比较的不方便，那如果是从i开始的j个数的最值呢？也是有一些局限性，所以，我们给出了一种思想，叫做倍增的想法。就是说我f[i][j]表示的是从i开始的$2^j$个数的最值。这样的处理的好处在于什么呢？我们发现，我可以将全局的任意的$2^j$块都处理出来，所用到的就是f[j][i]=max(f[j][i-1],f[j+(1<<(i-1))][i-1])；这个东西是我们是处理过的。显然，现在总区间内所有的$2^k$个数我们都处理过了。现在，我们思考如何查询。
查询时，我们想到，需要查询的区间不可能就是$2^j$的整倍数区间。所以，我们应该怎么做呢？从需要查询区间的左端点向右弄一个$2^k$记录一下，右端点向左再记录一遍。我们现在想求出k是几。这就是为什么RMQ只能求最值，因为存在覆盖的问题对吧，所以，我们思考一下，这个k的值是不是固定的呢？显然是。为什么，我们想求出$2^k$必须满足什么条件
1.$2^k$必须大于需要查询区间的一半。
2.$2^k$还要不大于整个需要被查询得区间。
这样来看，k就是最大的，且$2^k$不大于需要查询区间的长度。为什么此时的k-1不行，因为那样的话就会不满足第一个条件。所以，k是确定的。那么，k应该怎么求呢？此处切记，千万别用<cmath>，因为精度极其不准，我们采用o(n)预处理 log[i]=log[i>>1]+1。即可。
最后，附上丑陋的版子.......
预处理
1 int n; 2 scanf("%d",&n); 3 for(int i=2;i<=n;i++) log[i]=log[i>>1]+1; 4 for(int i=1;i<=n;++i) 5 { 6 scanf("%d",&a[i]); 7 } 8 for(int i=1;i<=n;i++) 9 { 10 f[i][0]=a[i]; 11 } 12 for(int i=1;(1<<i)<=n;i++) 13 { 14 for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++) 15 { 16 f[j][i]=max(f[j][i-1],f[j+(1<<(i-1))][i-1]); 17 } 18 }
查询
1 int m; 2 scanf("%d",&m); 3 int x,y; 4 for(int i=1;i<=m;i++) 5 { 6 scanf("%d%d",&x,&y); 7 int len=log[y-x+1]; 8 printf("%d ",max(f[x][len],f[y-(1<<len)+1][len])); 9 }
小结，这种数据结构的想法非常重要，虽然在使用上有一些局限性，但是它的想法是极其值得借鉴的。