数论出题组比赛用题：公约数

T4:公约数

思考难度：提高?

代码难度：省选-?

算法1：暴力计算

实际得分：10

算法2：

首先$gcd(icdot j,icdot k,jcdot k)=frac{gcd(i,j) imes gcd(i,k) imes gcd(j,k)}{gcd(i,j,k)}$

所以原式$=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^msum_{k=1}^p(gcd^2(i,j)+gcd^2(i,k)+gcd^2(j,k))$

考虑一个式子$sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mgcd^2(i,j)=sum_{d=1}^{min(n,m)}sum_{x|d}d^2muleft(frac{x}{d} ight)$

考虑对后面的$sum$分块计算，$O(n+Tcdot nsqrt{n})$

实际得分：30

算法3：

发现前面的$sum$也可以分块，$O(n+Tcdot n)$

实际得分：50

算法4：

考虑令$f(x)=x^2,g(x)=muleft({x} ight)$，计算这两个函数的狄利克雷卷积$h(x)$，再对$h(x)$分块计算，$O(n+Tcdot sqrt{n})$

实际得分：100

算法5：

杜教筛一下，把预处理复杂度由$O(n)$降低为$O(n^{frac{2}{3}})$，我太懒了没有学杜教筛

实际得分：100