【ybt金牌导航1-3-3】【luogu P4072】征途

征途

题目链接：ybt金牌导航1-3-3 / luogu P4072

题目大意

有 n 个值，你要把它划分成 m 段，使得把每段的值加起来得到段的值，段值的方差最小。
输出这个最小方差乘 m^2，可证明这个是整数。

思路

.首先我们考虑化简式子：（设分段之后每一段的长度是 (d_i)，(overline{x}) 是它们的平均值，即 (overline{x}=frac{sum_{i=1}^{m}d_i}{m})）
(s^2 imes m^2)
(=dfrac{sumlimits_{i=1}^{m}(d_i-overline{x})^2}{m} imes m^2)
(=sumlimits_{i=1}^{m}(d_i-overline{x})^2 imes m)
(=sumlimits_{i=1}^{m}(d_i^2-2 imes d_i imes overline{x}+overline{x}^2) imes m)
(=m imessumlimits_{i=1}^{m}{d_i^2}+sumlimits_{i=1}^{m}(-2 imes d_i imes frac{sum_{i=1}^{m}d_i}{m}+(frac{sum_{i=1}^{m}d_i}{m})^2) imes m)
(=m imessumlimits_{i=1}^{m}{d_i^2}+sumlimits_{i=1}^{m}(-2 imes d_i imes sum_{i=1}^{m}d_i+(frac{sum_{i=1}^{m}d_i}{m})(sum_{i=1}^{m}d_i)))

我们再弄一个 (sum=sum_{i=1}^{m}d_i)。
(=m imessumlimits_{i=1}^{m}{d_i^2}+sumlimits_{i=1}^{m}(-2 imes d_i imes sum+(frac{sum}{m}) imes sum))
(=m imessumlimits_{i=1}^{m}{d_i^2}+(-2) imes sumlimits_{i=1}^{m}d_i imes sum+sumlimits_{i=1}^{m}(frac{1}{m}) imes sum^2)
(=m imessumlimits_{i=1}^{m}{d_i^2}+(-2) imes sum imes sum+sum^2)
(=m imessumlimits_{i=1}^{m}{d_i^2}-2 imes sum^2+sum^2)
(=m imessumlimits_{i=1}^{m}{d_i^2}-sum^2)

那你会发现，你就是要让 (sumlimits_{i=1}^{m}d_i^2) 最小。

那你可以设 (f_{i,j}) 为前 (i) 个数划分成了 (j) 段的最小值。
那会有这个方程：(f_{i,j}=minlimits_{k=1}^{i-1}{f_{k,j-1}+(s_i-s_k)^2})

那可以看出它是有单调性的，那我们就直接上分治，做就好了。

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ll long long

using namespace std;

int n, m;
ll a[3001], s[3001], f[3001][3001];

void slove(int op, int l, int r, int L, int R) {//分治
	int mid = (l + r) >> 1, pl = 0;
	ll minn = 1e15;
	for (int i = L; i <= R && i < mid; i++) {//对于处理范围中间的点用枚举答案范围求答案
		ll now = f[i][op - 1] + (s[mid] - s[i]) * (s[mid] - s[i]);
		if (now < minn) {
			pl = i;
			minn = now;
		}
	}
	
	f[mid][op] = minn;
	
	if (l < mid) slove(op, l, mid - 1, L, pl);
	if (mid < r) slove(op, mid + 1, r, pl, R);
}

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%lld", &a[i]);
		s[i] = s[i - 1] + a[i];
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)//预处理只有一段的
		f[i][1] = s[i] * s[i];
	for (int i = 2; i <= m; i++)
		slove(i, 1, n, 1, n);
	
	printf("%lld", f[n][m] * m - s[n] * s[n]);//记得套回公式里
	
	return 0;
}