P4549裴蜀定理

题目描述

给出n个数(A1...An)现求一组整数序列(X1...Xn)使得S=A1X1+...AnXn>0,且S的值最小

输入输出格式

输入格式：

第一行给出数字N,代表有N个数 下面一行给出N个数

输出格式：

S的最小值

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本来以为是证明结果是个这样的题，也太水了，直接运用结论即可

设 则  由整除的性质，  有d|(ax+by)。设s为ax+by最小正值，首先有d|s，令  ，,

  

可见 也为  的线性组合。由于s 为  线性组合的最小正值  ，可知 。则  ,同理  ,则  ，因此可得  ，命题得证。

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证法二：

⑴若b=0，则（a,b)=a.这时定理显然成立。

⑵若a,b不等于0.

记d = (a, b), 对ax + by = d，两边同时除以d，可得(a1)x + (b1)y = 1，其中(a1,b1) = 1。
　　转证(a1)x + (b1)y = 1。由带余除法：
　　① (a1) = (q1)(b1) + (r1), 其中0 < r1 < b1
　　② (b1) = (q2)(r1) + (r2), 其中0 < r2 < r1
　　③ (r1) = (q3)(r2) + (r3), 其中0 < r3 < r2
　　.....
　　④ (rn-4) = (qn-2)(rn-3) + (rn-2)
　　⑤ (rn-3) = (qn-1)(rn-2) + (rn-1)
　　⑥ (rn-2) = (qn)(rn-1) + (rn)
　　⑦ (rn-1) = (qn+1)(rn) + 1
　　故，由⑦和⑥推出(rn-2)An-2 + (rn-1)Bn-1 = 1
　　再结合⑤推出(rn-3)An-3 + (rn-2)Bn-2 = 1
　　再结合④推出(rn-4)An-4 + (rn-3)Bn-3 = 1
　　.....
　　再结合③推出(r1)A1 + (r2)B2 = 1
　　再结合②推出(b1)A0 + (r1)B0 = 1
　　再结合①推出(a1)x + (b1)y = 1
　　证毕。

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扩展到n个数

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设a1,a2,a3......an为n个整数，d是它们的最大公约数，那么存在整数x1......xn使得x1*a1+x2*a2+...xn*an=d。

特别来说，如果a1...an互质（不是两两互质），那么存在整数x1......xn使得x1*a1+x2*a2+...xn*an=1。

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摘自百度百科

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
    int n,a,b;
    cin>>n;
    cin>>a;
    a=abs(a);
    n--;
    while(n--)
    {
        cin>>b;
        a=gcd(a,b);
        a=abs(a);
    }
    cout<<a;
}