博弈论

博弈论

1.什么是博弈论

博弈论是二人或多人在平等的对局中各自利用对方的策略变换自己的对抗策略，达到取胜目标的理论。博弈论是研究互动决策的理论。博弈可以分析自己与对手的利弊关系，从而确立自己在博弈中的优势，因此有不少博弈理论，可以帮助对弈者分析局势，从而采取相应策略，最终达到取胜的目的。简单来说，就是有一个小游戏，你需要研究一种必胜的策略的一类问题。

2.几种简单的博弈论类型

a.巴什博奕（Bash Game）

问题描述： 只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规 定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

问题分析：

显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1)*r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。 巴什博弈博弈论里面最简单的一种形式。

问题解决：

首先明确在这个问题中，博弈者都会选取对自己有利的方式进行博弈。在此我们讨论先手必胜的策略。当(n<=m)时，只需要全部取完即可，此时，先手胜。当(n>m)时，根据上文分析，我们只需要构造T=(m+1)*k，那么，先手在第一轮取物品时只需要取n-T个即可

模型总结：

如果将博弈的过程想象成一棵树，那么对于树上的结点先进行如下定义:
1.P点：位于这个点的博弈者必输
2.N点：位于这个点的博弈者必胜
那么对于一棵博弈树来说，有如下性质：
1.所有叶子结点都是P结点，因为此时剩余物品数量为0，位于这个节点的博弈者必输
2.每一个P点的后继都是N点
3.每一个N点的后继都是P点