poj2104 k-th number 主席树入门讲解
定义：主席树是一种可持久化的线段树 又叫函数式线段树
刚开始学是不是觉得很蒙逼啊 其实我也是
主席树说简单了 就是
保留你每一步操作完成之后的线段树 然后有可加减性
也就是说你每添加的一个点的那棵树都给你保留下来了
呃 。。。 这么说好像还是有点生涩
那么就拿poj2104来举例子吧 慢慢讲我觉得会很好的
题意就是给你一个100000长度的数字 然后100000次询问［L，R］之间第k大的数字是多少
这个很容易看出来 暴力根本不可以 黑你分分钟的事情啊
我们怎么办呢 想想线段树能不能做 想来想去 一颗线段树好像不能这么做 GG
那么我们做一个美好的假设：
我们建立100000棵美丽的线段树 每一个线段树的节点 表示这一个区间内有多少个数字
第一棵线段树保存着把第一个数字插入进去之后 每个区间有多少个数字
第二棵线段树保存着把第一个 第二个数字插入进去之后 每个区间有多少个数字
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第n棵线段树保存着把第1，2，3。。。。n个数字插入进去之后 每个区间有多少个数字
好了 我们已经建立了这么多的线段树 我们接下来该怎么办呢？
对 就是查询
可是如何查询呢？ 假设我们要查询［l，r］内的第k大
我们可以拿出第l－1 ，r 棵线段树，然后两者相减（两棵树的更节点相减） 我们想一下 这样不就得到了相当于插入了第l到r个点所建立的一棵线段树 这棵线段树每个节点保留的信息是：这个区间内数字的个数 然后我们往下二分查找 就可以得到第k大了
比如说r对应的那棵树1-15里面有10个，l-1对应的那棵树1-15有6，那么r-（l-1）的1-15有10-6=4个，如果我现在k=8，那么说明1-15满足不了我，比如我需要到6-20中去找，r那棵树。
所谓主席树呢，就是对原来的数列[1..n]的每一个前缀[1..i]（1≤i≤n）建立一棵线段树，线段树的每一个节点存某个前缀[1..i]中属于区间[L..R]的数一共有多少个（比如根节点是[1..n]，一共i个数，sum[root] = i；根节点的左儿子是[1..(L+R)/2]，若不大于(L+R)/2的数有x个，那么sum[root.left] = x）。若要查找[i..j]中第k大数时，设某结点x，那么x.sum[j] - x.sum[i - 1]就是[i..j]中在结点x内的数字总数。而对每一个前缀都建一棵树，会MLE，观察到每个[1..i]和[1..i-1]只有一条路是不一样的，那么其他的结点只要用回前一棵树的结点即可，时空复杂度为O(nlogn)。
现在的问题时 这么庞大的空间开销我们耗费不起 我们该如何建立这样的线段树呢？
答案就是 我们要尽量利用重复节点
我们可以想一下 我们每次建立线段树 相对于前一棵线段树 我们只修改了它的一条路径 最多只有logn的变化 那么我们就存下这logn的变化 尽可能的利用重复节点 就可以达到重复使用的目的 有张图你们自己体会一下 我也是盗图 侵删～
每次只修改一条路径
这样就能完成我们的主席树了
接下来是我自己写的该题代码
- #include <iostream>
- #include <algorithm>
- #include <stdio.h>
- #include <string.h>
- #include <stdlib.h>
- using namespace std;
- #define maxn (int)(1e6+10)
- struct node{
- int cnt,l,r;
- }treenode[30*maxn];//定义一个结构体吧 要不心累 l 和 r 表示 左右两个节点的序号 这个不是单纯的单个线段树了 这个还是有必要的 最好开20-40倍
- int tree_cnt[maxn];//每个线段树跟节点的坐标 这个是搜索的起点啊
- int init[maxn];//
- int cop[maxn];
- int n,t_cnt=0,newn;//t_cnt是现在数组开到多大了 然后建立下一个的时候注意++t_cnt;
- int getid(int x) {return (int)(lower_bound(init,init+newn,x)-init);}//数据太大 需要离散化
- int insert(int num,int becopyed,int l,int r)//记住返回自己的坐标
- {
- ++t_cnt;
- treenode[t_cnt].cnt=treenode[becopyed].cnt+1;
- int save=t_cnt;
- int mid=(l+r)/2;
- if(l==r)
- {
- return save;
- }
- else if(num<=mid)
- {
- treenode[save].l=insert(num,treenode[becopyed].l,l,mid);
- treenode[save].r=treenode[becopyed].r;
- }
- else
- {
- treenode[save].r=insert(num,treenode[becopyed].r,mid+1,r);
- treenode[save].l=treenode[becopyed].l;
- }
- return save;
- }
- int query(int x,int y,int k,int l,int r)
- {
- if(l==r) return l;
- int p=(treenode[treenode[y].l].cnt-treenode[treenode[x].l].cnt);
- int mid=(l+r)/2;
- if(k<=p)
- {
- return query(treenode[x].l,treenode[y].l,k,l,mid);
- }
- else return query(treenode[x].r,treenode[y].r,k-p,mid+1,r);
- }//一边做减法 一边查询
- void print(int x,int l,int r)
- {
- cout<<treenode[x].cnt<<' ';
- if(l==r) {return;}
- int mid=(l+r)>>1;
- print(treenode[x].l,l,mid);
- print(treenode[x].r,mid+1,r);
- }
- int main()
- {
- int n,qnum;
- cin>>n>>qnum;
- for(int i=0;i<n;++i) {scanf("%d",init+i);cop[i]=init[i];}
- sort(init,init+n);
- newn=unique(init,init+n)-init;
- for(int i=1;i<=n;++i)
- {
- int p=insert(getid(cop[i-1]),tree_cnt[i-1],0,n);
- tree_cnt[i]=p;
- //cout<<p<<endl;
- }
- for(int i=0;i<qnum;++i)
- {
- int x,y,k;
- scanf("%d %d %d",&x,&y,&k);
- //cin>>x>>y>>k;
- int ans=query(tree_cnt[x-1],tree_cnt[y],k,0,n);
- //cout<<ans<<endl;
- printf("%d ",init[ans]);
- //cout<<init[ans]<<endl;
- }
- //cout<<endl;
- //for(int i=0;i<=n;++i) print(tree_cnt[i],0,n),cout<<endl;
- return 0;
- }