我看了J.P.Elliot1958年关于SU(3)解释壳模型计算中转动谱的一篇著名文章，我想搞明白SU(3)以及相应的群表示指标，所以在看Greiner的《量子力学：对称性》中《SU(3)群》这一章。看了一部分以后觉得有些地方很迷惑，就翻别的书，找了A.Zee的《Group theory in a nutshell for physicists》，看了1.3节《Rotations and the Notation of Lie Algebras》，立即明白了几个疑点，记录如下。
Lie的观察：转动可以由一系列完全相同的无穷小转动构成。
这个性质与群元的指数形式(U(a) = e^{-i sum_mu a_mu L_mu})是直接相关的。
因为有了上面Lie的观察，才能从单位元的邻域内，推导出指数形式。
看Greiner的书，会觉得他假定了所有李群都可以用这种指数形式表达。但是Zee提醒了，并不是这样，Cartan给出了反例：SL(2,R)——把生成元(L_mu)放进指数，并不能得到所有群元。
李代数、生成元、Casmir算符
取无穷小转动(R=I+A)，(R'=I+B)，(R,R')是否对易，决定了(RR'R^{-1})是否等于(R')。
(R)的逆元是(R^{-1} = I-A)（因为(A)是无穷小算符）。
(RR'R^{-1} approx I + B + AB - BA = R' + [A,B])。
可以定义一个线性无关的无穷小算符集合，即生成元。搞清楚生成元之间的对易关系，就搞清楚了这个李群的“乘法结构”。生成元之间的对易关系就是李代数。换言之，对于李群，我们只研究单位元附近的群元，也就是研究李代数，就可以了解这个李群。
分析可以得到([L_i, L_j] = iC_{ijk}L_k)，(C_{ijk} = - C_{jik})。
例如，通过对SO(4)李代数的讨论，A.Zee展示了，在单位元附近，SO(4)同构于SO(2)(otimes)SO(2)，这叫做局域同构。他说后面会解释，SO(4)不是完全同构于SO(2)(otimes)SO(2)。
Casmir算符：与所有生成元对易的算符
相互对易的生成元的最大个数是Casmir算符的个数。
指数形式
因为Lie的观察，(N)趋于无穷时，李群群元(e^{sum_mu i a_mu L_mu / N})自乘(N)次，会得到
((e^{sum_mu i a_mu L_mu / N})^N = ( 1+ sum_mu i a_mu L_mu / N )^N = e^{sum_mu i a_mu L_mu})。
似乎SO(3), SU(3) 等等很多物理常用的群都可以写成这个指数形式。
(U(n))群
若把群元写成(U = e^{iH})，则(U)幺正(Leftrightarrow H)厄米。厄米的矩阵一共有(n^2)个自由度，所以(U(n))群一共有(n^2)个自有参数，相应地有(n^2)个生成元。
(SU(n))群
若限定(detU = 1)，则得到SU(n)群。(U(n))群元相当于(e^{ialpha/n}E)乘上一个(SU(n))群的群元，(e^{ialpha} = Tr(U))，所以我猜(U(n) = U(1)otimes SU(n))。
(SU(2))的生成元是泡利算符。
(SU(3))生成元
(lambda_1 =
egin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0
end{bmatrix})，(lambda_2 =
egin{bmatrix}
0 & -i & 0 \
i & 0 & 0 \
0 & 0 & 0
end{bmatrix})，(lambda_3 =
egin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & -1 & 0 \
0 & 0 & 0
end{bmatrix})，(lambda_4 =
egin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 \
1 & 0 & 0
end{bmatrix})，
(lambda_5 =
egin{bmatrix}
0 & 0 & -i \
0 & 0 & 0 \
i & 0 & 0
end{bmatrix})，(lambda_6 =
egin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 \
0 & 1 & 0
end{bmatrix})，(lambda_7 =
egin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & -i \
0 & i & 0
end{bmatrix})，(lambda_8 = frac{1}{sqrt{3}}
egin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & -2
end{bmatrix})，
这些生成元的对易关系为([lambda_i, lambda_j]=2if_{ijk}lambda_k)，(f_{ijk})是完全反对称的，它的值为：
(f_{123} = 1, f_{147} = f_{516} = f_{246} = f_{257} = f_{345} = f_{637} = frac{1}{2}, f_{458} = f_{678} = sqrt{3}/2)，其他未列出的都是0.
反对易关系为({ lambda_i, lambda_j } = frac{4}{3} delta_{ij}E + 2d_{ijk} lambda_k), (d_{ijk})是完全对称的。
(f_{ijk}, d_{ijk})还有些很对称的等式，在Greiner的书上。我证了一遍，懒得抄在这里了。
若定义(F_i = frac{1}{2}lambda_i)，则有([F_i, F_j]=if_{ijk}lambda_k)。
Casmir算符：(C_1 = sum_i F^2_i, C_2 = sum_{ijn}d_{ijn} F_i F_j F_n)。
(SU(3))的子代数
所有生成元线性组合构成的线性空间中，如果存在一个子空间，子空间内的元素之间对易关系闭合，则称作是子代数。
三个(SU(2))子代数
显然，(lambda_1, lambda_2, lambda_3)的关系就和三个Pauli矩阵一样，所以有(SU(2))子代数。
类似地，(lambda_4, lambda_5, frac{1}{2}(lambda_3 + sqrt{3}lambda_8))也构成行列指标(1,3)上的三个Pauli矩阵，所以也有(SU(2))子代数。
(lambda_6, lambda_7, frac{1}{2}( -lambda_3 + sqrt{3}lambda_8))也构成(SU(2))子代数。
方便标记的量子数
定义(T_pm = F_1 pm iF_2, V_pm = F_4 pm iF_5, U_pm = F_6 pm i F_7)，即上面3个子代数的阶梯算符。可以证明，([T_3, T_pm] = pm T_pm, [ T_3, V_pm ] = pm frac{1}{2} V_pm, [ T_3, U_pm ] = mp frac{1}{2} U_pm)。
这说明，这些阶梯算符都是(T_3)的l阶梯算符，将(T_3)的量子数升降(pm frac{1}{2}, pm 1)。
(T_3)只设计生成元矩阵对角元的一种情况，在迹0的约束下，还可以找一个算符(Y = frac{1}{sqrt{3}} lambda_8)。
可以证明，([Y, T_pm] = 0, [ Y, U_pm ] = pm U_pm, [Y, V_pm] = pm V_pm).
所以，这些阶梯算符也都是(Y)的阶梯算符。(T_3)的相关(SU(2))代数与(Y)完全无关。
取(T_3, Y)这两个量子数，在((T_3,Y))二维平面上画出格点，每个点代表一个((T_3, Y))值。
为了比例好看点，我们将(Y)轴乘了一个因子(scaling = sqrt{3}/2)。
这六个阶梯算符有以下性质：
- 上图中相邻的(夹角为60度)的阶梯算符的对易子都是0.
- 上图中夹角为120度的阶梯算符的对易子都正比于它们之间的阶梯算符。
([T_+, U_+] = V_+),
([V_+, T_-] = - U_+),
([U_+, V_-] = T_-),
([T_-, U_-] = -V_-),
([V_-, T_+] = U_-),
([U_-, V_+] = -T_-)，很对称很漂亮，连负号都是隔一个出现一次。
寻找多重态
- 从上面的子代数可以看出来，原则上，两个量子数也可以不选((T_3, Y))，可以用(U_3, V_3)中的一个，然后另外构造一个类似(Y)的量子数。所以多重态的图形应该是旋转120度不变的。
- 应该是关于(T_3, U_3, V_3)轴对称的。
所以多重态的图是一个六边形，三条边一样长（(p+1)个点），另外三条边一样长（(q+1)个点），分别相间。 - 选一个(T_3)最大的点，确定最外层各边边长以后，可以证明，最外壳上每个点只对应1个量子态，即不可能用这些阶梯算符构造出另一个((T_3,Y))的不同的态。
- 根据Greiner的书，越往内层，内层壳上的点的重数越大，直到遇到三角形，点的重数就不再增加。
- 根据这套逻辑，(p-q = 3k+1)时，可以推出(D(p,q))的维数是(d = frac{1}{2}(p+1)(q+1)(p+q+2))。