P8207[THUPC2022 初赛]最小公倍树【Kruskal】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P8207

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题目大意

有编号为\([L,R]\)区间的点，连接两个点\(x,y\)边权的为\(LCM(x,y)\)，求这张图的最小生成树。

\(1\leq L\leq R\leq 10^6,R-L\leq 10^5\)

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解题思路

我们有一个结论： 对于张图\(G\)中的一个生成子图\(E\)，\(E\)之中的一条边\(k\)如果不在\(E\)最小生成树中，那么\(k\)肯定也不在\(G\)的最小生成树中。

那么我们考虑找一些可能是答案的边出来跑最小生成树。

对于一个\(i\)我们提取出所有它倍数的点，对于点\(ik\)来说它肯定不会去连接某个\(ik'\)如果存在另一个更小的\(ik''\)的话，因为这条边显然不在这张图的最小生成树中。

所以我们可以对于一个点\(x\)的每个约数\(d\)，我们只连接一个最小的\(d\times k\)，然后把这些边拿出来跑\(Kruskal\)就好了。

时间复杂度：\(O(n\log^2 n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
struct node{
	ll x,y,w;
}e[11000000];
ll L,R,ans,m,fa[1100000];
bool cmp(node x,node y)
{return x.w<y.w;}
ll find(ll x)
{return (fa[x]==x)?x:(fa[x]=find(fa[x]));}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&L,&R);
	for(ll i=1;i<=R;i++){
		for(ll j=i;j<=R;j+=i){
			if(j>=L){
				ll p=(L+i-1)/i*i;
				if(p==j)continue;
				e[++m]=(node){j,p,j*p/i};
			}
		}
	}
	sort(e+1,e+1+m,cmp);
	for(ll i=L;i<=R;i++)fa[i]=i;
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		ll x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);
		if(x==y)continue;
		ans+=e[i].w;fa[x]=y;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}