问题 H: [Sdoi2010]地精部落
时间限制: 1 Sec 内存限制: 64 MB
题目描述
传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。
输入
仅含一行，两个正整数 N, P。
输出
仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。
样例输入
4 7
样例输出
3
提示
对于 20%的数据，满足 N≤10；
对于 40%的数据，满足 N≤18；
对于 70%的数据，满足 N≤550；
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤109
思路很神奇：f[i][j]，长度为i的摆动序列，第一段下降，第一座山峰相对高度在[1,j]的总方案数。同理，设g[i][j]为长度为i的摆动序列，第一段上升，第一座山峰相对高度在[1,j]的总方案数。
很明显f[i][j]=f[i][j-1]+g[i-1][j-1].
是不是还要维护个g啊。。。不用。对于长度为i**相对**高度分别为ai的山，把每一段都改为i-ai+1，就会生成上升下降完全相反且相对不变的山。因为是相对高度，所以结论还是很明显的。所以f[i][j]=g[i][i-j+1],那g[i-1][j-1]=f[i-1][i-j]
所以转移方程变成了f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][i-j]。所以只需要着一个数组了。
还有一个问题，当前去找开头相对高度为j，下降的山时，接上了一段开头为i-j,长度i-1的上升的山，方案里并不会出现与j重复的山.因为长度为i-1，所以相对高度在1~i-1之间。也就是说在[1,j-1]∪[j,i-1]，那么我们把[j,i-1]全部加1，就成了[j+1,i]，成功把相对高度为j的位置让了出来而且这个区间的相对值并不变。
我的天。这题思维含量真高，并且代码及其浓缩。
#include <cstdio>
#define ll long long
int n,p;ll f[2][4205];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&p);f[1][1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
for(int j=1,x=i&1;j<=i;j++)
f[x][j]=(f[x][j-1]+f[x^1][i-j])%p;
printf("%lld",f[n&1][n]*2%p);
}