上帝与集合的正确用法
根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的:
第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”。
第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现,一共有两种不同的“α”。
第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现,一共有四种不同的“β”。
第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合。显然,一共会有16种不同的“γ”。
如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有65536种,第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。
然而,上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来,因此,日复一日,年复一年,他重复地创造着新的元素……
然而不久,当上帝创造出最后一种元素“θ”时,他发现这世界的元素实在是太多了,以致于世界的容量不足,无法承受。因此在这一天,上帝毁灭了世界。
至今,上帝仍记得那次失败的创世经历,现在他想问问你,他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种?
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来,因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。
你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素,或10^18次,或者干脆∞次。
一句话题意:
Input
接下来T行,每行一个正整数p,代表你需要取模的值
Output
T行,每行一个正整数,为答案对p取模后的值
Sample Input
3 2 3 6
Sample Output
0 1 4
Hint
对于100%的数据,T<=1000,p<=10^7
1 //2017-08-04 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <iostream> 5 #include <algorithm> 6 #define ll long long 7 8 using namespace std; 9 10 const int N = 1000010; 11 char b[N]; 12 ll a, c; 13 14 ll quick_pow(ll a, ll n, ll MOD){ 15 ll ans = 1; 16 while(n){ 17 if(n&1)ans = ans*a%MOD; 18 a = a*a%MOD; 19 n>>=1; 20 } 21 return ans; 22 } 23 24 ll phi(ll n){ 25 ll ans = n; 26 for(ll i = 2; i*i <= n; i++){ 27 if(n%i==0){ 28 ans -= ans/i; 29 while(n%i==0) 30 n /= i; 31 } 32 } 33 if(n > 1)ans = ans - ans/n; 34 return ans; 35 } 36 37 ll solve(int p){ 38 if(p <= 1)return 0; 39 ll k = 0, powk = 1; 40 while(p%2==0){ 41 k++; 42 powk *= 2; 43 p>>=1; 44 } 45 ll phip = phi(p); 46 k %= phip; 47 ll num = (solve(phip)+phip-k)%phip; 48 return quick_pow(2, num, p)%p*powk; 49 } 50 51 int main() 52 { 53 int T, p; 54 cin>>T; 55 while(T--){ 56 cin>>p; 57 cout<<solve(p)<<endl; 58 } 59 return 0; 60 }