四边形不等式
设 $w(x,y)$ 是定义在 $Z$ 上的二元函数。若对于定义域上的任意 $a,b,c,d ; (a leq b leq c leq d)$，都有 $w(a,c)+w(b,d) leq w(a,d)+w(b,c)$ 成立，则函数 $w$ 满足四边形不等式。
定理
设 $w(x,y)$ 是定义在 $Z$ 上的二元函数。若对于定义域上的任意 $a,b ; (a<b)$，都有 $w(a,b)+w(a+1,b+1) leq w(a,b+1)+w(a+1,b)$ 成立，则函数 $w$ 满足四边形不等式。
证明
对于 $a<c$，有 $$w(a,c)+w(a+1,c+1) leq w(a,c+1)+w(a+1,c)$$
对于 $a+1<c$，有 $$w(a+1,c)+w(a+2,c+1) leq w(a+1,c+1)+w(a+2,c)$$
两式相加，得到 $$w(a,c)+w(a+2,c+1) leq w(a,c+1)+w(a+2,c)$$
根据一式和三式类推，对任意的 $a leq b leq c$，有 $$w(a,c)+w(b,c+1) leq w(a,c+1)+w(b,c)$$
同理，对任意的 $a leq b leq c leq d$，有 $$w(a,c)+w(b,d) leq w(a,d)+w(b,c)$$
一维线性DP的四边形不等式优化
对于形如 $f[i] = min_{0 leq j < i} { f[j] + w(j, i) }$ 的状态转移方程，记 $p[i]$ 为 $f[i]$ 取到最小值时的 $j$ 值，即 $p[i]$ 是 $f[i]$ 的最优决策。若 $p$ 在 $[1, N]$ 上非严格单调递增，则 $f$ 具有决策单调性。
定理
在状态转移方程 $f[i] = min_{0 leq j < i} { f[j] + w(j, i) }$ 中，若函数 $w$ 满足四边形不等式，则 $f$ 具有决策单调性。
证明
$forall i in [1, N]$，$forall j in [0, p[i] - 1]$，根据 $p[i]$ 的最优性，有 $$f[p[i]] + w(p[i], i) leq f[j] + w(j, i)$$
$forall i' in [i + 1, N]$，因为 $w$ 满足四边形不等式，有 $$w(j, i) + w(p[i], i') leq w(j, i') + w(p[i], i)$$
两式相加，得到 $$f[p[i]] + w(p[i], i') leq f[j] + w(j, i')$$
这说明以 $p[i]$ 作为 $f[i']$ 的决策，比以任意 $j < p[i]$ 作为 $f[i']$ 的决策更优，因此 $f[i']$ 的最优决策一定满足 $p[i'] geq p[i]$
所以 $f$ 具有决策单调性
//待填
二维区间DP的四边形不等式优化
定理一
在状态转移方程 $f[i][j] = min_{i leq k < j} { f[i][k] + f[k + 1][j] + w(i, j) }$ 中（特别地，$f[i][i] = w(i, i) = 0$），如果 $w$ 满足四边形不等式，且对于任意的 $a leq b leq c leq d$，有 $w(a, d) geq w(b, c)$，那么 $f$ 也满足四边形不等式。
证明*
当 $i + 1 = j$ 时，$f[i][j + 1] + f[i + 1][j] = f[i][i + 2]$
若 $f[i][i + 2]$ 的最优决策是 $i$ ，则 $$egin{align*} f[i][i + 2] & = f[i][i] + f[i + 1][i +2] + w(i, i + 2) \ & = w(i + 1, i + 2) + w(i, i + 2) \ & geq w(i + 1, i + 2) + w(i, i + 1) \ & = f[i + 1][i + 2] + f[i][i + 1] \ & = f[i + 1][j + 1] + f[i][j] end{align*}$$
若 $f[i][i + 2]$ 的最优决策是 $i + 1$ ，则 $$egin{align*} f[i][i + 2] & = f[i][i + 1] + f[i + 2][i +2] + w(i, i + 2) \ & = w(i, i + 1) + w(i, i + 2) \ & geq w(i, i + 1) + w(i + 1, i + 2) \ & = f[i][i + 1] + f[i + 1][i + 2] \ & = f[i][j] + f[i + 1][j + 2] end{align*}$$
故当 $j - i = 1$ 时，四边形不等式对 $f[i][j]$ 成立
然后用数学归纳法，假设当 $j - i < k$ 时，$f$ 满足四边形不等式；考虑 $j - i = k$ 的情况，设 $f[i][j + i]$ 的最优决策为 $x$，$f[i + 1][j]$ 的最优决策为 $y$；不妨设 $i + 1 leq x leq y$
根据 $x$ 和 $y$ 的最优性，有 $$egin{align*} f[i][j + 1] + f[i + 1][j] & = f[i][x] + f[x + i][j + 1] + w(i, j + 1) \ & + f[i + 1][y] + f[y + 1][j] + w(i + 1, j) end{align*}$$
对于 $f[i][j]$ 和 $f[i + 1][j + 1]$，$x$ 和 $y$ 不一定最优，故 $$egin{align*} f[i][j] + f[i + 1][j + 1] & leq f[i][x] + f[x + i][j] + w(i, j) \ & + f[i + 1][y] + f[y + 1][j + 1] + w(i + 1, j + 1) end{align*}$$
因为 $w$ 满足四边形不等式，所以 $$w(i, j) + w(i + 1, j + 1) leq w(i, j + 1) + w(i + 1, j)$$
根据归纳假设，有 $$f[x + 1][j] + f[y + 1][j + 1] leq f[x + 1][j + 1] + f[y + 1][j]$$
结合前面四个不等式，得到 $$f[i][j] + f[i + 1][j + 1] leq f[i][j + 1] + f[i + 1][j]$$
定理二
在状态转移方程 $f[i][j] = min_{i leq k < j} { f[i][k] + f[k + 1][j] + w(i, j) }$ 中（特别地，$f[i][i] = w(i, i) = 0$），记 $p[i][j]$ 为 $f[i][j]$ 取到最小值时的 $k$ 值（最优决策）。若 $f$ 满足四边形不等式，那么对于任意 $i < j$，有 $p[i][j - 1] leq p[i][j] leq p[i + 1][j]$（决策单调性）。
证明
记 $p$ 为 $p[i][j]$，对于任意的 $i < k leq p$，因为 $f$ 满足四边形不等式 $$f[i][k] + f[i + 1][p] leq f[i][p] + f[i + 1][k]$$
移项可得 $$f[i + 1][p] - f[i + 1][k] leq f[i][p] - f[i][k]$$
根据 $p$ 的最优性，有 $$f[i][p] + f[p + 1][j] leq f[i][k] + f[k + 1][j]$$
因此 $$egin{align*} & f[i + 1][p] + f[p + 1][j] + w(i + 1, j) - f[i + 1][k] - f[k + 1][j] - w(i + 1, j) \ = & (f[i + 1][p] - f[i + 1][k]) + (f[p + 1][j] - f[k + 1][j]) \ leq & (f[i][p] - f[i][k]) + (f[p + 1][j] - f[k + 1][j]) \ = & (f[i][p] + f[p + 1][j]) - (f[i][k] + f[k + 1][j]) \ leq & 0 end{align*}$$
所以对于 $f[i + 1][j]$，$p$ 比任意的 $k leq p$ 更优，因此 $p[i + 1][j] geq p[i][j]$
同理可证 $p[i][j - 1] leq p[i][j]$
//待填