题意:有(n(n<=100000))种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票.唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n.但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱.现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望.
分析:首先第一步转换一下题目,发现只要知道了要买多少次就可以计算出花了多少钱,所以本题是求期望次数.设期望次数为x,则(ans=x*(x+1)/2=(x+x^2)/2.)
刚开始想的是,设(g[i])表示获得i种邮票的期望次数,(f[i])表示获得i种邮票的期望次数的平方.那么答案就是(frac{g[n]+f[n]}{2},)然后递推式是(g[i]=(g[i-1]+1)*frac{n-i}{n}+(g[i]+1)*frac{i}{n})(前者表示第i次买到了新种类邮票,后者表示第i次买到了已经买到过的邮票),移项化简可以得到(g[i]=g[i-1]+frac{n}{n-i}).同理(f[i]=(f[i-1]+2*g[i-1]+1)*frac{n-i}{n}+(f[i]+2*a[i]+1)*frac{i}{n})(联系一下完全平方式的展开就能得到了),然后同样移项化简可以得到(f[i]=f[i-1]+2*g[i-1]+1+(2*g[i]+1)*frac{i}{n-i}).
然后写着写着发现因为要除以(n-i),所以会出现除以0的情况,于是就炸了.
然后想着顺着推不行,那就倒着推吧.(g[i])表示获得i种邮票后还需要的期望次数,(f[i])表示获得i种邮票后还需要的期望次数的平方.推一下可以发现,式子大体相同就是(i-1)都变了(i+1),所以我们初始化(g[n]=f[n]=0),然后倒着推出(g[0],f[0])即可.最终答案就是((g[0]+f[0])/2.)
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#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
int x=0,o=1;char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
if(ch=='-')o=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*o;
}
const int N=10005;
double g[N],f[N];
int main(){
int n=read();
/*for(int i=1;i<=n;++i){
g[i]=g[i-1]+1.0*n/(n-i);
f[i]=f[i-1]+2*g[i-1]+1+1.0*i*(2*g[i]+1)/(n-i);
}
printf("%.2lf
",(f[n]+g[n])/2.0);*/
for(int i=n-1;i>=0;--i){
g[i]=g[i+1]+1.0*n/(n-i);
f[i]=f[i+1]+2*g[i+1]+1+1.0*i*(2*g[i]+1)/(n-i);
}
printf("%.2lf
",(g[0]+f[0])/2.0);
return 0;
}