bzoj2219: 数论之神

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long int64;
int ca,top,prim[50005];
int64 A,B,K,pi,pk,ans,ti,q;
int64 ksm(int64 x,int64 y){
    if (y==0) return 1;
    if (y==1) return x;
    int64 d=ksm(x,y/2);
    if (y%2==1) return d*d*x;
    else return d*d;
}
int64 exgcd(int64 a,int64 b,int64 &x,int64 &y){
    if (b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int64 temp=exgcd(b,a%b,x,y),tmp;
    tmp=x,x=y,y=tmp-a/b*y;
    return temp;
}
int64 YuanGen(int64 x){
    bool flag;
    top=0;
    int64 temp=x-1;
    for (int i=2;i<=sqrt(x-1);i++){
        if (temp%i==0){
            prim[++top]=i;
            while (temp%i==0) temp/=i;
        }
    }
    if (temp>1) prim[++top]=temp;
    for (int i=1;;i++){
        flag=1;
        for (int j=1;j<=top;j++){
            if (ksm(i,(x-1)/prim[j])%x==1){
                flag=0;
                break;
            }
        }
        if (flag) return i;
    }
}
#define maxn 100005
#define maxm 400005
int now[maxn],prep[maxm];
int64 val[maxm];
void insert(int x,int64 y){
    int64 pos=y%maxn;
    prep[x]=now[pos],now[pos]=x,val[x]=y;
}
int find(int64 x){
    int64 pos=x%maxn; int ans=maxm*4;
    for (int i=now[pos];i!=-1;i=prep[i]){
        if (val[i]==x) ans=min(ans,i);
    }
    if (ans==maxm*4) return -1;
    else return ans;
}
int64 BSGS(int64 A,int64 B,int64 C){
    memset(now,-1,sizeof(now));
    int64 pos,temp=ceil(sqrt(C*1.0)),D=1,R=1;
    for (int i=0;i<temp;i++){
        insert(i,D);
        D=D*A%C;
    }
    int64 tmp,x,y;
    for (int i=0;i<temp;i++){
        tmp=exgcd(R,C,x,y);
        x=(x*(B/tmp)%C+C)%C;
        pos=find(x);
        if (pos!=-1) return i*temp+pos;
        R=R*D%C;
    }
    return -1;
}
int64 calc(int64 A,int64 B,int64 C){
    q=YuanGen(pi);
    int64 a,b,t,x,y,c=C-C/pi;
    b=BSGS(q,B,C);
    t=exgcd(A,c,x,y);
    c/=t;
    x=(x*(b/t)%c+c)%c;
    int sum=0;
    for (int i=x;i<c*t;) sum++,i+=c;
    return sum;
}
int64 work(int64 A,int64 B){
    B%=pk; int64 a,b,c,x;
    if (B==0){
        a=(ti-1)/A+1;
        return pk/ksm(pi,a);
    }
    b=0,c=1;
    while (B%pi==0){
        b++,c*=pi;
        B/=pi;
    }
    if (b%A!=0) return 0;
    x=b/A;
    return calc(A,B,pk/c)*ksm(pi,b-x);
}
int main(){
    int64 temp;
    scanf("%d",&ca);
    while (ca--){
        scanf("%lld%lld%lld",&A,&B,&K);
        K=K*2+1,temp=K; ans=1;
        for (int i=2;i<=sqrt(K);i++){
            if (temp%i==0){
                pi=i,pk=1,ti=0;
                while (temp%i==0){
                    pk*=i; ti++;
                    temp/=i;
                }
                ans*=work(A,B);
            }
        }
        if (temp>1){
            pi=pk=temp; ti=1;
            ans*=work(A,B);
        }
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2219

题目大意：在ACM_DIY群中，有一位叫做“傻崽”的同学由于在数论方面造诣很高，被称为数轮之神！对于任何数论问题，他都能瞬间秒杀！一天他在群里面问了一个神题: 对于给定的3个非负整数 A,B,K 求出满足 (1) X^A = B(mod 2*K + 1) (2) X 在范围[0, 2K] 内的X的个数！自然数论之神是可以瞬间秒杀此题的，那么你呢？

第一行有一个正整数T,表示接下来的数据的组数( T <= 1000) 之后对于每组数据，给出了3个整数A,B,K (1 <= A, B <= 10^9, 1 <= K <= 5 * 10^8)

输出一行，表示答案。

做法：这题很像之前写过的一个题，用原根+指标+bsgs即可，但是那一题B，C互质，且C一定存在原根。这题不一样了，设C=2*k+1，C不一定存在原根，但是我们可以将其标准分解，这些pi^ti一定存在原根，因为C%2==1，一定不会有2的幂，而奇素数的a次幂，a>=1,一定存在原根。我们对每个x^A=B(mod pi^ti)（0=<x<pi^ti）求出解的个数后乘起来就是原来的解，至于为什么，右转百度搜中国剩余定理推论。

怎么求x^A=B(mod pi^ti)（0=<x<pi^ti）的解的个数呢？我们将B%pi^ti，为了一些边界情况，我们要分情况讨论，当B=0时，那么x^A一定是pi^ti的倍数，我们x中存在因子p^a,且a*A>=ti，那么只要是p^a的倍数就行，可以手推式子。

当B>0时，我们将B分解为pi^b  * T，我们要想办法把pi^b约去，那么x^A中也要刚好有pi^b次方，否则之后同余不成立，所以当A不整除b时无解，令k=b/A,那么x=p^k  * G,G属于[0,p^(ti-k)),约去后化简为G^A = T (mod pi^(ti-b)),G属于[0,pi^(ti-b)),mod数存在原根，T与mod数互质，转化为了弱化版，可以用bsgs+原根求解，设解数为ans，最后应该ans*=p^(b-k)，因为定义域缩小了，且存在大小为p^(ti-b)的循环节，除一下就知道最后要扩大的倍数了。

那么怎么求x^A=B(mod C)呢？  C存在原根，且（B，C）=1。我们找到C的原根g，找到B在原根g下modC的指标，x也必定为原根g的若干次方%C，式子变为

g^(aA)=g^b(mod C),由于循环节phi（C），变为aA=b（mod phi(C)）,0=<a<phi(C)，用扩展欧几里得算法即可实现。