「贪心」糖果传递

糖果传递

原题链接：糖果传递

题目大意

有 (n) 个人，围在一起，每个人有 (a_i) 个糖果，每次移动一次糖果需要消耗 1 的代价，现在要让所有人获得的糖果数相同，求最小代价

题目题解

很经典的贪心题，如果你对本题理解不了的话，建议去看看

货仓选址 均分纸牌

首先读完题之后我们就可以知道，最终的答案一定是每个人的糖果数相同，怎么相同呢？很简单，每个人都是整组数的平均数就能相同了，我们将平均数记作 (ave) 现在我们就要解决怎么最小消耗了，首先我们设三个未知数 (a_i) 和 (q_i) 和 (h_i) 分别代表：每个人目前的糖果数 和 每个人从前面一个人手中得到的糖果数 和 每个人从后面一个人手中得到的糖果数，当(q_i < 0 ||h_i < 0)时，均代表从当前人往前后给糖果，那么最终的答案一定是 (ans = q_1 + h_1 + q_2 + h_2 + ... + q_n + h_n) 。

假如现在第一个小朋友，他给了第n个小朋友(q_1)的糖，且从第二个小朋友手中得到了(h_1)个糖，那么此时(a_1 - q_1 + h_1 = ave) ，同理对于第二个小朋友我们有 (a_2 - q_2 + h_2 = ave) 以下同理直到第n个小朋友，然后我们从第一个小朋友的等式可以化出 (h_1 - q_1 = ave - a_1) 第二个小朋友有 (h_2 - q_2 = ave - a2) ，我们发现两个式子其实是有关联的 (|h_1| = |h_2|) 哎我们发现这里似乎能够化简，并且由于两个变量不好计算，我们在这里将其化为一个变量 (x_i) 代表从当前这一位给前面一位多少个糖果

那么同理我们可以得到式子

(a_1 - x_1 + x_2 = ave) -> (x_2 = ave - a_1 + x_1)

(a_2 - x_2 + x_3 = ave) -> (x_3 = ave - a_2 + x_2) -> (x_3 = ave - a_2 + (ave - a_1 + x_1)) -> (x_3 = 2ave - a_2 - a_1 + x_1)

(a_3 - x_3 + x_4 = ave) -> (x_4 = ave - a_3 + x_3) -> (x_4 = ave - a_3 + (2ave - a_2 - a_1 + x_1)) -> (x_4 = 3ave - a_3 - a_2 - a_1 + x_1)

观察式子发现，每一次都会有一个 (-a_i) 然后还会有 (iave + x_1) 因为最终答案和 (x) 有关，我们想办法将(x)独立出来然后再观察，就会变成(x_{i + 1} = x_1 - c_i(c_i = Sigma_{j = 1}^{i}-a_i + Sigma_{j = 1}^{i}ave)) 于是我们的最终答案就变成了(ans = |x_1| + |x_1 - c_1| + |x_1 - c_2| + .... + |x_1 - c_{n - 1}|) 而我们知道 (|x_1 - c_i|) 的几何意义是数轴上 (x_1) 到 (c_i) 的距离，所以这个问题就变成了：给定数轴上(n)个点，找出一个到他们的距离之和尽量小的点，而这个点就是这些数的中位数，证明请看货仓选址

代码如下

//#define fre yes

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int N = 1000005;
int a[N], c[N];
int n, ave;
long long sum;

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        sum += a[i];
    }
    ave = sum / n;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        c[i] = c[i - 1] + a[i] - ave;
    } std::sort(c + 1, c + 1 + n);
    long long ans = 0;
    int mid = c[(n >> 1) + 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans += abs(c[i] - mid);
    } printf("%lld
", ans);
    return 0;
}