[HNOI 2009]有趣的数列

Description

 我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

    (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

    (2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

    (3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

    现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

Sample Input

3 10

Sample Output

5

HINT

对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

题解

我们把奇项和偶项分别按顺序拿出来，

现在解决的问题就是将$1$~$2n$分别按顺序填入每个项中，要保证奇数项中的数的个数总不小于偶数项中的数个数。

显然就是$Catalan$数了。

对于取模...因为模数$p$不一定是质数，那么就质因数分解。

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#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Abs(x) ((x) < 0 ? (-(x)) : (x))
using namespace std;
const int N = 1000000;

int n, pre[(N<<1)+5], prime[(N<<1)+5], tot;
LL p; 
int cnt[(N<<1)+5];

void prepare() {
    for (int i = 2; i <= (n<<1); i++) {
        if (!pre[i]) prime[++tot] = i;
        for (int j = 1; j <= tot && prime[j]*i <= (n<<1); j++) {
            pre[prime[j]*i] = prime[j];
            if (i%prime[j] == 0) break;
        }
    }
}
void work() {
    scanf("%d%lld", &n, &p);
    prepare();
    for (int i = n+2; i <= (n<<1); i++) {
        int j = i;
        while (pre[j]) {
            cnt[pre[j]]++; j /= pre[j];
        }
        cnt[j]++;
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        int j = i;
        while (pre[j]) {
            cnt[pre[j]]--; j /= pre[j];
        }
        cnt[j]--;
    }
    LL ans = 1;
    for (int i = 1; i <= (n<<1); i++)
        for (int j = 1; j <= cnt[i]; j++)
            ans = ans*i%p;
    printf("%lld
", ans);
}
int main() {
    work();
    return 0;
}