[UVa 11300]Spreading the Wealth

题解

首先每个人最后的金币数是可以计算出来的，我们记其为$M$。
假设有$4$个人，编号$1$~$4$，第$i$个人初始金币数量为$A_i$，设$1->4$金币数为$x_1$（符号代表给出还是收入），那么我们对于标号为$1$的人很容易得到一个等式$M=A_1-x_1+x_2$。
对于所有人我们都可以得到这样的一个等式，一共有$n$个变量，但可惜我们发现其实有效的等式只有只有$n-1$个（因为任意$n-1$个等式都可以推出剩下的一个等式）。
我们无法求出答案，但我们可以试着用一个变量表示其他的变量，以$x_1$为例；
对于第一个人，$A_1-x_1+x_2=M => x_2=M-A_1+x_1=x_1-C_1$（令$C_1=A_1-M$）
对于第二个人，$A_2-x_2+x_3=M => x_3=M-A_2+x_2=2M-A_1-A_2+x_1=x_1-C_2$（令$C_2=C_1+A_2-M$）
……
对于第$n$个人，$A_n-x_n+x_1=M$，这个是多余的，舍去。
依题，我们要求$$sum_{i=1}^N Abs(x_i)$$
对于刚才的推导，就是$$sum_{i=1}^N Abs(x_1-C_i)$$
转化为数学模型就是数轴上所有点到一个点的距离。
那么原题就是找到一个点，使得所有点到其距离和最短，显然找到一个中间点即可。

#include <map>
#include <set>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Abs(a) ((a) < 0 ? (-(a)) : (a))
using namespace std;
const int N = 1000000;

LL n, m, ans;
LL c[N+5];

void work() {
    m = 0, c[1] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lld", &c[i+1]),
        m += c[i+1];
    m /= n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        c[i] += c[i-1]-m;
    sort(c+1, c+1+n);
    LL x1 = c[(1+n)>>1];
    ans = 0;
    for (int i = 1;i <= n; i++)
        ans += Abs(x1-c[i]);
    printf("%lld
", ans);
}

int main() {
    while ((~scanf("%lld", &n)) && n) {
        work();
    }
    return 0;
}