动态规划——01背包问题

0-1 背包问题

给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 mi，其价值为 vi 。

问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

面对每个物品，我们只有选择拿取或者不拿两种选择，不能选择装入某物品的一部分，也不能装入同一物品多次。

解决办法：声明一个 大小为 dp[n][c] 的二维数组，dp[ i ][ j ] 表示 在面对第 i 件物品，且背包容量为 j 时所能获得的最大价值 ，那么我们可以很容易分析得出 dp[i][j] 的计算方法，

（1）. j < m[i] 的情况，这时候背包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不拿

dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ][ j ]

（2）. j>=m[i] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。

如果拿取，dp[ i ][ j ]=dp[ i-1 ][ j-m[ i ] ] + v[ i ]。 这里的dp[ i-1 ][ j-m[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品，背包容量为j-m[i]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了m[i]的空间。

如果不拿，dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ][ j ] , 同（1）

究竟是拿还是不拿，自然是比较这两种情况那种价值最大。

例题

#include<iostream>
using namespace std;
int dp[101][101] = {0},x[101] = {0};
int m[101] = {0,15,10,12,8};  //投资 
int v[101] = {0,12,8,9,5};	  //收益 
int c = 30,n = 4; //c为总重， n为种类数 
void trace(){
	for(int i = 4; i > 1; i--){
		if(dp[i][c] == dp[i-1][c])
			x[i] = 0;
		else{
			x[i] = 1;
			c -= m[i];
		}
	}
	x[1] = dp[1][c]>0 ? 1:0; 
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		cout << x[i] << " ";  
	cout << endl;
}
int main(){

	for(int i = 1; i <= n; i++){
		for(int j = 1; j <= c; j++){
			if(j >= m[i]){         //注意等号
				dp[i][j] = dp[i-1][j-m[i]]+v[i]>dp[i-1][j] ? dp[i-1][j-m[i]]+v[i]:dp[i-1][j];
			}
			else
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
		}
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		for(int j = 1; j <= c; j++){
			cout << dp[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
	cout << dp[n][c] << endl;
	trace();         // 输出方案 
	            
	return 0;
} 

结果

0 1 1 1表示选择后3个，即B C D项目