参考：
https://wiki.mbalib.com/wiki/金融风险测度理论
http://www.acourse.net/article/detail/708
https://www.gaodun.com/frm/49684.html
ttps://www.jianshu.com/p/f4e3a3d8c21a
金融风险管理是各类金融机构所从事的全部业务和管理活动中最核心的内容，它和时间价值、资产定价被并称为是现代金融理论的三大支柱。
金融风险管理分为识别风险、测量风险、处理风险以及风险管理的评估和调整四个步骤。其中，金融风险的测量是金融市场风险管理的核心环节。风险测量的质量，很大程度上决定了金融市场风险管理的有效性；合理风险测度指标的选取，是提高风险测量质量的有效保障。
风险管理的基础工作是度量风险，而选择合适的风险度量指标和科学的计算方法是正确度量风险的基础，也是建立一个有效风险管理体系的前提。风险测度就是各种风险度量指标的总称。
风险测度理论的发展大致经历了三个阶段：
传统风险测度工具包括方差、半（下）方差、下偏矩LPM（Low Partial Moments）、久期（duration）、凸性（convexity）、beta、delta、gamma、theta、vega、rho等，这些指标分别从不同的角度反映了投资价值对风险因子的敏感程度，因此被统称为风险敏感性度量指标。风险敏感性度量指标只能在一定程度上反映风险的特征，难以全面综合地度量风险，因此只能适用于特定地金融工具或在特定的范围内使用。
现行的国际标准风险管理工具VaR最初由J.P. Morgan针对其银行业务风险的需要提出的，并很快被推广成为了一种产业标准。风险价值VaR是指在正常的市场条件和给定的置信水平下，在给定的持有期间内，投资组合所面临的潜在最大损失。VaR是借助概率论和数理统计的方法对金融风险进行量化和测度。它最大的优点是可以得出多维风险的一个一维近似值，可用于测量不同市场的不同风险并用一个数值表示出来，因此具有广泛的适用性。巴塞尔银行监督委员会、美国联邦储备银行、美国证券交易委员会、欧盟都接受 VaR作为风险度量和风险披露的工具。
但是，VaR作为风险测度的指标，不满足一致性风险测度四条公理中的次可加性公理，不是一种一致性风险测度指标。这就意味着当用VaR度量风险时，某种投资组合的风险可能会比各组成成分证券风险之和还要大，从而导致投资者不愿多样化投资的情况。而且 VaR不能测度超过VaR的损失、不适用于非椭球分布函数族、VaR有许多局部极值导致VaR排序不稳定等缺陷，决定着VaR并不是一种合适的风险测度指标。
基于上述风险测度的局限性，Artzner等（1999）提出了一致性风险测度（Coherent Risk Measure）概念。他们认为一种良好定义的风险测度应该满足单调性、正齐次性、平移不变性和次可加性四条公理，并将满足这些公理的风险测度成为一致性风险测度。定义ρ(X)为风险测度，X为资产x的损失金额，X是一个随机变量。
次可加性：ρ(X+Y)≤ρ(X)+ρ(Y)。这个最重要的性质反映了投资组合具有分散风险的特点。因此，任一投资组合的总风险应当不超过该组合中每个构成部分风险之和。
单调性：如果在未来的每一种状态下， X≤Y，那么ρ(X)≤ρ(Y)。换而言之，如果一个资产组合占优于另一个资产组合，即前者随机收益的各分量大于或等于后者随机收益所对应的分量，则前者的风险至少不大于后者。也就是说，优质资产的风险应该比劣质资产的风险小。
正齐次性：对于λ>0，ρ(λX)= λρ(X)。正齐次性指如果资产的构成保持不变，那么资产的风险水平与资产的规模成正比，即风险度量不受风险计量单位的影响。另外，此性质也可被看作是次可加性的一个特例，反映了没有分散风险的情况。
平移不变性：对常数c，ρ(X+c)= ρ(X)-c。即意味着：ρ(X + ρ(X)) = ρ(X) − ρ(X) = 0。该性质表明若增加无风险头寸到投资组合中，则组合的风险随着无风险资产头寸的增加而减少。指在未来每一种状态下的损失金额的基础上，都可以获得现金c作为补偿，那么风险水平也相应下降了c。上式意味着，如果用数量为ρ(X)的资本或保证金加入到投资组合X之中，则恰好可以抵消投资组合X的风险。因此，平移不变性公理要求风险测度在数值上就是为抵消投资组合的风险而需要提供的资本或保证金的数量。
在一致性公理的四大条件中，次可加性是最为重要的。若不满足次可加性，就不是凸性的风险计量，我们也就不能通过优化来求得最小风险投资组合。而且，当风险度量函数不满足次可加性时，投资组合的风险度量值会大于投资组合中各项资产的风险度量值的和，这将产生一个错误的风险规避策略：一个包含多个部门的金融机构只要将其资产分别划分给其下的各个部门，由各个部门分别计算风险度量值再求和，就能实现整个金融机构的风险降低。显然，违背次可加性将有可能给金融监管系统带来系统漏洞。
举例：假设x是一个深度虚值（deep out-of-the-money）的看跌期权，y是一个深度虚值的看涨期权。这两个期权都还有一天到期，并且在到期日变成实值期权的概率都是4%。从空头的角度出发，这两个期权在95%的置信水平下1天的VaR都为0。可是如果把这两个期权组成一个投资组合，那么对于空头来说，到期时需要对多头支付的概率是8%，在95%的置信水平下1天的VaR显然是一个正数。所以通过投资组合，不仅没有降低风险，还创造了风险，这是违背一般的投资常识的。
可以证明，当且仅当投资组合的收益呈正态分布时，VaR才满足次可加性，进而满足一致性要求。但是，经过众多学者的理论探索与实证检验，无论是在国内或是国外的金融市场，投资组合的收益分布都是尖峰、厚尾和有偏的，即不满足正态分布。这也意味着，用VaR来衡量投资组合风险是不满足次可加性的，不符合一致性公理的要求。
如果基于VaR来计算法定资本，就会存在监管套利（Regulatory Arbitrage），与上例的思路相反，银行可以成立很多附属机构来销售期权，从而降低资本要求。如果风险测度是满足次可加性的，那么通过投资组合分散化可以降低风险测度的水平，从而节省监管资本，这是符合一般的投资常识的。
标准差（Standard Deviation）满足一致性风险测度的四个性质，但标准差的缺陷在于衡量的是平均的偏离程度，而不是下跌的尾部风险。
另一个一致性风险测度是损失期望值（Expected Shortfall），衡量的是尾部区域的损失的均值。
数理金融学家随后在一致性风险测度四公理基础上提出了几种形式不同的一致性风险测度指标，其中ES是最常用的一种。ES就是投资组合在给定置信水平决定的左尾概率区间内可能发生的平均损失，因此被称为Expected Shortfall。ES对于损失X的分布没有特殊的要求，在分布函数连续和不连续的情况下都能保持一致性风险测度这一性质，使ES不仅可以应用到任何的金融工具的风险测量和风险控制，也可以处理具有任何分布形式的风险源，而且保证了在给定风险量的约束条件下最大化预期收益组合的唯一性。
VaR与一阶传统随机占优是一致的，ES风险测度与二阶传统随机占优是一致的；但是，VaR与二阶及二阶以上传统随机占优不是一致的，ES风险测度与三阶及三阶以上传统随机占优不是一致的，在特定情况下，运用VaR和ES都不能做出正确的投资决策。
VaR
(1)Used for risk control and performance assessment.
(2)Easy to understand.
(3)Advanced method.
(4)Single instrument or portfolio
(1)Did not contain worst conditions,did not describe tail loss.
FRM考试中：https://www.gfedu.cn/frm/content_21169.shtml