A. MP3
除了挖坑一无是处的屑题,不写了!
B. Welfare State
题意:两种操作,全局取max,单点修改,输出最终的序列。
题解:segment beats!
C. Matching vs Independent Set
题意:(3n)个点的图,找出一组大小为(n)的匹配或独立集。
题解:扫描所有边,能匹配就匹配。若匹配数大于(n),输出匹配。否则剩下的点形成独立集,原因:如果有边,之前暴力扫描会被匹配到。
D. Rectangle Painting 1
题意:有(n imes n)的矩形,格子是黑色或白色,每一可以花(max{h,w})的代价把(h imes w)的矩阵染白,问将全体染白的最小代价。(nleq 50)
题解:
证明一个结论,假设不是(n imes n)的矩形,而是一般化为(n imes m),不妨设(ngeq m),则有最优解一定是(n imes m)全覆盖,或者存在一个垂直于(n)方向的分界线,没有染白矩阵跨越这条线。
证明:如果不存在这样的线,每一处分界线都至少有一个矩形越过,容易发现这样的方案一定不优于直接全覆盖。
于是暴力地来个dp,令(dp_{xl,xr,yl,yr})为覆盖子矩形([xl,xr] imes [yl,yr])的最小代价,选择长的那一边暴力枚举分界线,递归到左右两边求和,最后和全覆盖取更优。复杂度(O(n^5)),小常数可以过。
E. Rectangle Painting 2
题意:有(n imes n)的矩形,格子是黑色或白色,每一可以花(min{h,w})的代价把(h imes w)的矩阵染白,问将全体染白的最小代价。(nleq 10^9),黑色位置由(m)个可以有交集的矩形给出,(mleq 50)
题解:
首先发现一定是取宽度为(1)的横向/纵向长条最优。
先离散化,于是对每一个黑格子((i,j)),这代表了第(i)行或者第(j)列需要被选中,问最少选中数。
这就是个点覆盖问题,二分图上转最小割就行了。因为离散化,点是带权的。
F. GCD Groups 2
题意:有一堆数,把它们分成非空两组使(gcd)均为(1),或说明方案不存在。
题解:
考场上没做出来。
假设存在一组这样的方案,不妨考虑第一个数(a)所在的集合,(a)最多有(k=9)个质因子,对每个质因子,显见(a)所在的组里至少有一个数不含这个质因子。于是(a)所在的集合可以只保留这些数而(gcd)仍然为(1),这些数共不超过(k+1)个。即:如有解,则一定存在(a)所在的组只含至多(k+1)个数的解。
那么直接随机一个数(b),并钦点它和(a)不在一个集合,钦点出错的概率至多为(frac{k}{n}),多随机几次就几乎不会错了。
假设有一次钦点对了,那么(b)也只有至多(k)个质因子。添加数的时候,只需要把(a)和(b)的质因子消完即可。现在这样选出(O(k^2))个数:对(a)或(b)的每个质因子,选出(2k)个或者所有能消去这个质因子的数,并集为(S)。那么原情况有解等价于(Scup{a,b})上有解,原因:对一种方案,(a)和(b)都只需要其中最多(k)个数,把能消去某个质因子的全部换成(S)中的同样功效的数,显然仍合法。
于是只剩下(O(k^2))个数,直接dp,用(dp_{S,T,i})表示考虑了前(i)个数,(a)剩下质因子集合为(S),(b)剩下质因子集合为(T)的方案是否存在,转移容易得出。复杂度(O(4^kk^2+nk))。