费马小定理

费马小定理：

\[a^{p-1}\equiv 1\pmod{p},p\in prime \]

先看一些同余的基本性质，\(a\)和\(b\)除以\(c\)的余数相同，我们记为：

\[a\ \equiv b\pmod{m} \]

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1. $\ $ 如果\(a\ \equiv b\pmod{m}\)并且\(x\ \equiv y\pmod{m}\)，那么有\(a+x \equiv b + y\pmod {m}\)
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2. $\ $ 如果\(a\ \equiv b\pmod{m}\)并且\(x\ \equiv y\pmod{m}\)，那么有\(ax \equiv by \pmod{m}\)
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3. $\ $ 如果\(ac \equiv bc\pmod{m}\)并且\(\gcd(m, c)=1\)，那么有\(a \equiv b\pmod{m}\)
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   关于3，我们可以得到\(ac - mq = bc - mp\)，移项得\(c(a-b)=m(q-p)\)，因为\(m\)与\(c\)互质，所以\(m | (a-b)\)，所以\(a\equiv b\pmod{m}\)
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   在编译器中，两个异号的数取余之后的结果取决于分子的符号。负数%负数，编译器会将分母的负数自动转换为正整数，然后再将分子负数的负号提取出来，将两个正整数取余，最后的结果加上负号就好了。负数%正数，编译器先将分子负数的负号提取出来，将两个正整数取余，最后结果加上负号即可。正数%负数，编译器自动将分母负数转换为正整数，然后两个正整数取余得到就是最终结果。
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   完全剩余系：
   在模n的剩余类中各取一个元素，则这n个数就构成了模n的一个完全剩余系。如最小非负数为代表，则得完全剩余系\(\{0,1,2,...,n-1\}\)
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   看一个完全剩余系的性质：
   若\(a_1,a_2,...,a_n\)为\(\pmod{p}\)的一个完全剩余系且\(\gcd(p, b)=1\)，则\(ba_1,ba_2,...,ba_n\)也为\(\pmod{p}\)的一个完全剩余系。
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   证明一下，我一开始以为会有\(a_1\equiv ba_1\pmod{p}\)，这样一一对应的相等关系，后来发现并不是这样，我们假设\(ba_i\equiv ba_j\pmod{p}\)，则由上述性质3就有\(a_i\equiv a_j\pmod{p}\)，产生矛盾，所以必有\(ba_i\not\equiv ba_j\pmod{p}\)，所以\(ba_1,ba_2,...,ba_n\)仍为\(\pmod{p}\)的一个完全剩余系。
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   下面证明一下费马小定理：
   我们构造一个素数\(p\)的完全剩余系：\(P=\{0,1,2,...,p-1\}\)
   由完全剩余系的性质得\(A=\{0,a,2a,...,(p-1)a\}\)
   因为\(A\)和\(P\)都为\(\pmod{p}\)的完全剩余系，所以，\(1\times 2 \times 3\times...\times (p-1)\equiv a\times 2a \times 3a \times...\times (p-1)a\pmod{p}\)，即为\((p-1)!\equiv (p-1)!a^{p-1}\pmod{p}\)，又\(\gcd((p-1)!,p)=1\)，所以得\(a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}\)
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   浅举以下它的应用：
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   求\(2^{100}\)除以\(13\)的余数：

\[2^{100} \\ \equiv 2^{(12\times 8)+4}\pmod{13} \\ \equiv 1^8 \times 2^4 \pmod{13} \\ \equiv 16\pmod{13} \\ \equiv 3\pmod{13} \]