循环冗余校验（CRC）

冗余码

CRC和海明校验类似，也是有效信息（k位）+校验信息（r位），需要满足N=k+r≤2^r-1

生成多项式G(X)

定义：收发双方约定的一个（r+1）位二进制数，发送方利用G(X)对信息多项式做模2除运算，生成校验码。接收方利用G(X)对收到的编码多项式做模2除运算检测差错及错误定位。

满足条件：

1. 最高位和最低位必须为1；
2. 当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做除后应该使余数不为0；
3. 不同位发生错误时，模2除运算后余数不同；
4. 对不为0余数继续进行模2除运算应使余数循环。

得到生成多项式

从最高幂位开始降位，有就为1，没有就是0

例如：

G(x)多项式	G(x)
x3+x+1(x0)	1011
x3+x2	1100
x4+x2+1	10101

在利用G(X)对信息多项式做模2除运算时，运算原则（运算实际上就是异或运算）

1. 部0分余数首位为1时，商为1，减除数；（余数开头为1，下一位接着除）
2. 部分余数首位为0时，商为0，减0（余数开头为0，这位的商为0，下面减0）
3. 当部分余数的位数小于除数的位数时，该余数即为最后余数。（结束运算条件）

通过一道例题来熟悉过程

将4位有效信息1001编成循环校验码，选择生成多项式x3+x1+x0,试写出编码过程

1.根据生成多项式，得到G(x)=1011

2.有效信息为4位，k=4,代入公式k+r≤2^r-1，得到r≥3

3.首先临时在有效信息1001后面添加r位0的冗余码，即1001000，计算1001000/1011,得到余数110

4.将余数替换有效信息后面的冗余码，变为1001110

余数	出错位 (A7A6A5A4A3A2A1)
000	无
001	7
010	6
100	5
011	4
110	3
111	2
101	1

在传输数据时，若对传输过去的数据进行模二运算，得到余数不为0，则数据发生变化，我们通过余数对比表，可以得到哪一位发生的变化。

例如，如果我们传输数据得到的是1001111，我们除以G(x)

 

 得到余数101，查表格也就是第一位出错。