我们知道(FFT)是一个循环卷积。
本质上的离散傅里叶变换满足的是这个性质：
[c_k=sumlimits_{i,j}[i+j=k(mod n)]a_ib_j
]
但是由于我们做的长度足够大((n)足够大)所以这种循环卷积卷不回去。
这导致我们只能做特定长度的(FFT,n=2^w)
如果我们需要做任意长度循环卷积呢？
其实稍微推推式子就可以了。。。
只说(DFT),(IDFT)也类似。
其实我们要求的是这样一个多项式：
[DFT(A,x)=sumlimits_{i=0}^{n}x^isumlimits_{j=0}^{n}a_iw_n^{ij}
]
也就是所谓的点值表达式。
那么也就是要求:
[c_k=sumlimits_{i=0}^{n}a_iw_n^{ik}
]
这样就可以用我们的小(trick)个换成卷积形式了。
[c_k=sumlimits_{i=0}^{n}a_iw_n^{frac{i^2+k^2-(k-i)^2}{2}}
]
这样可以拆了：
[c_k=w_n^{frac{k^2}{2}}sumlimits_{i=0}^{n}left(a_iw_n^{frac{i^2}{2}}
ight)w_n^{-frac{(k-i)^2}{2}}
]
卷积形式吧！
也就是说
我们做一次任意长度循环卷积需要(FFT)上9次。。。
常数还是蛮大的。
有一种神仙的办法就是把虚部压进去一起(DFT)，我还没搞太明白。
晚上再去看吧。