BZOJ 3251 树上三角形：LCA【构成三角形的结论】

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3251

题意：

　　给你一棵树，n个节点，每个点的权值为w[i]。

　　接下来有m个形如(p,a,b)的操作：

　　　　（1）p == 0:

　　　　　　问你在从a到b的路径上，有没有三个点满足：它们的权值大小可以构成三角形。

　　　　　　如果有，输出'Y'，否则输出'N'。

　　　　（2）p == 1:

　　　　　　将点a的权值w[a]改为b。

题解：

　　首先考虑一个结论：

　　　　因为构成三角形的充要条件是：对于三个数a < b < c，满足a + b > c。

　　　　所以不能构成三角形的条件是：对于三个数a < b < c，满足a + b <= c。

　　　　所以对于一个升序数列a[i]，让a[i]的增加速度最小，则类似于斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13...

　　　　又因为点权范围为[1,2^31-1]，所以一个不能构成三角形的数列，最多有大约45个数字。

　　　　即：对于数字个数 >= 50的数列，必定有三个数能构成三角形。

　　

　　所以先找出(a,b)的最近公共祖先act，然后顺着路径最多取50个数。

　　然后sort一遍取出的数t[i]，扫一遍有没有t[i-2]+t[i-1]>t[i]。

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <vector>
#define MAX_N 100005
#define MAX_K 20

using namespace std;

int n,m;
int w[MAX_N];
int t[MAX_N];
int dep[MAX_N];
int par[MAX_K][MAX_N];
vector<int> edge[MAX_N];

void read()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&w[i]);
    }
    int a,b;
    for(int i=0;i<n-1;i++)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        edge[a].push_back(b);
    }
}

void dfs(int now,int p,int d)
{
    dep[now]=d;
    par[0][now]=p;
    for(int i=0;i<edge[now].size();i++)
    {
        int temp=edge[now][i];
        if(temp!=p) dfs(temp,now,d+1);
    }
}

void init_lca(int root)
{
    dfs(root,-1,0);
    for(int k=0;k+1<MAX_K;k++)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(par[k][i]==-1) par[k+1][i]=-1;
            else par[k+1][i]=par[k][par[k][i]];
        }
    }
}

int lca(int a,int b)
{
    if(dep[a]>dep[b]) swap(a,b);
    for(int k=0;k<MAX_N && dep[a]!=dep[b];k++)
    {
        if(((dep[b]-dep[a])>>k)&1)
        {
            b=par[k][b];
        }
    }
    if(a==b) return a;
    for(int k=MAX_K-1;k>=0;k--)
    {
        if(par[k][a]!=par[k][b])
        {
            a=par[k][a];
            b=par[k][b];
        }
    }
    return par[0][a];
}

bool check(int a,int b,int act)
{
    int cnt=0;
    t[cnt++]=w[act];
    int now=a;
    while(now!=act)
    {
        t[cnt++]=w[now];
        now=par[0][now];
        if(cnt>50) break;
    }
    now=b;
    while(now!=act)
    {
        t[cnt++]=w[now];
        now=par[0][now];
        if(cnt>50) break;
    }
    sort(t,t+cnt);
    for(int i=2;i<cnt;i++)
    {
        if((long long)t[i-2]+t[i-1]>t[i]) return true;
    }
    return false;
}

void work()
{
    init_lca(1);
    int p,a,b;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&p,&a,&b);
        if(p==0)
        {
            int act=lca(a,b);
            if(check(a,b,act)) printf("Y
");
            else printf("N
");
        }
        else w[a]=b;
    }
}

int main()
{
    read();
    work();
}