北京大学2022年强基计划数学试题
1.已知$2n+1$与$3n+1$均为完全平方数且$n$不超过$2022$,则正整数$n$的个数为
(A) $11$
(B) $12$
(C) $13$
(D) 以上答案均不正确
2.已知凸四边形$ABCD$满足$\angle ABD=\angle BDC=50^\circ$, $\angle CAD=\angle ACB=40^\circ$,则符合题意且不相似的凸四边形$ABCD$的个数为?
3.已知正整数$y$不超过$2022$且满足$100$整除$2^y+y$,则这样的$y$的个数为?
4.已知$[x]$表示不超过$x$的整数,如$[1.2]=1,[-1.2]=-2$.已知$\displaystyle\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,则$\left[\alpha^{12}\right]=$
(A) $321$
(B) $322$
(C) $323$
(D) 以上答案均不正确
5.已知六位数$\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}$满足
$$
\frac{\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}}{\overline{a_4a_5a_6}}=\left( 1+\overline{a_1a_2a_3} \right) ^2,
$$
则所有满足条件的六位数之和为? ($\overline{a_4a_5a_6}$不必为三位数)
6.已知整数$a,b,c,d$满足$a+b+c+d=6$,则$ab+ac+ad+bc+bd+cd$的正整数取值个数为?
7.已知凸四边形$ABCD$满足: $AB=1,BC=2,CD=4,DA=3$,则其内切圆半径的取值范围为?
8.已知$a,b\in \mathbb{R}$, $z_1=5-a+(6-4b)i$, $z_2=2+2a+(3+b)i$, $z_3=3-a+(1+3b)i$,当$|z_1|+|z_2|+|z_3|$最小时, $3a+6b=$?
9.已知复数$z$满足$\displaystyle\frac{z}{2}$与$\displaystyle\frac{2}{z}$的实部和虚部均属于$[-1,1]$,则$z$在复平面上形成轨迹的面积为?
10.在$\triangle ABC$中, $\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{c}{2}(a-b)$,其外接圆半径$R=2$,且$\displaystyle 4\left( \sin ^2A-\sin ^2B \right) =\left( \sqrt{3}a-b \right) \sin B$,则$\displaystyle\sin\frac{A-B}{2}+\sin\frac{C}{2}=$?
11.在梯形$ABCD$中, $AD\parallel BC$, $M$在边$CD$上,有$\angle ABM=\angle CBD=\angle BCD$,则$\displaystyle\frac{AM}{BM}$的取值范围为?
12.已知$\displaystyle\sqrt{1-x^2}=4x^3-3x$,则该方程所有实根个数与所有实根乘积的比值为?
13.若$A$为十进制数, $A=\overline{a_0a_1\cdots a_n}$,记$D(A)=a_0+2a_1+2^2a_2+\cdots+2^na_n$.已知 $b_0=2033^{10},b_{n+1}=D(b_n)$,则$b_{2022}$各位数字的平方和为
(A) $730$
(B) $520$
(C) $370$
(D) 以上答案均不正确
14.已知数列$\{a_n\}$满足$\displaystyle a_1=12,a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(3+a_n+3\sqrt{1+2a_n}\right)$,则与$a_{10}$最接近的整数为?
15.已知$f(x)$是二次函数, $f(-2)=0$,且$\displaystyle 2x\leqslant f(x)\leqslant\frac{x^2+4}{2}$,则$f(10)=$?
16.已知数列$\{a_k\}_{1\leqslant k\leqslant 5}$各项均为正整数,且$|a_{k+1}-a_k|\leqslant 1$, $\{a_k\}$中存在一项为$3$,可能的数列的个数为?
17.将不大于$12$的正整数分为$6$个两两交集为空的二元集合,且每个集合中两个元素互质,则不同的分法有?种.
18.已知$a,b,c$为正整数, $\displaystyle f(x)=(1+x)^a+(1+x)^b+(1+x)^c$,其中$x$的系数为$10$,则$x^2$的系数的最大可能值与最小可能值之和为?
19.若$\triangle ABC$三边长成等差数列,则$\cos A+\cos B+\cos C$的取值范围是?
20.内接于椭圆$\displaystyle\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$的菱形周长的最大值和最小值之和为
(A) $4\sqrt{13}$
(B) $14\sqrt{13}$
(C) $\displaystyle\frac{110}{3}\sqrt{13}$
(D) 以上答案均不正确