ACM-ICPC 2018 徐州赛区网络预赛A Hard to prepare（DP）题解

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题意：有n个格子拉成一个环，给你k，你能使用任意个数的0 ~ 2^k - 1，规定操作 i XNOR j 为~（i  ^  j），要求相邻的格子的元素的XNOR为正数，问你有几种排法，答案取模1e9 + 7。本题所使用的数字为无符号位数字。

思路：无符号位，所以异或取反后为正数，只可能是两个数相加不为2^k - 1。所以转化为相邻两个数之和不为2^k - 1的排法有几种（首尾也不能）。这个问题很像扇形涂色问题。我们开dp[ n ][ 3 ]记录到第i长时的三种情况：头尾和不为2^k - 1且头尾不相等， 头尾相等，头尾和为2^k - 1。然后很好写出各自的转移方程。显然我们一共有元素2^k种，但是这个有个坑，就是我在用2^k - 1，2^k - 2时可能为负数，所以要+MOD % MOD。

代码：

#include<queue>
#include<cstring>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<string>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 10;
const int seed = 131;
const ll MOD = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
ll pmul(ll a, ll b){
    ll ans = 1;
    while(b){
        if(b & 1) ans = ans * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
ll dp[maxn][3];    //头尾无关 头尾相等 头尾值为0
int main(){
    int T;
    ll n, ans, k, fac, fac1, fac2, fac3;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld", &n, &k);
        fac = pmul(2, k);
        fac1 = (fac - 1 + MOD) % MOD;
        fac2 = (fac - 2 + MOD) % MOD;
        fac3 = (fac - 3 + MOD) % MOD;
        dp[1][0] = fac;
        dp[1][1] = 0;
        dp[2][0] = fac * (fac - 2 + MOD) % MOD;
        dp[2][1] = fac;
        dp[1][2] = fac;
        for(int i = 3; i <= n; i++){
            dp[i][0] = (dp[i - 1][0] * fac3 % MOD +  dp[i - 1][1] * fac2 % MOD + dp[i - 1][2] * fac2 % MOD) % MOD;
            dp[i][1] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1]) % MOD;
            dp[i][2] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][2]) % MOD;
        }
        printf("%lld
", (dp[n][0] + dp[n][1] + MOD) % MOD);
    }
    return 0;
}