陈同学（陈彼方） 在 反相吧 发了一个 帖 《一个简单问题，留给民科来证明》 https://tieba.baidu.com/p/6669105616 ， 里面 列了一篇 英文文章 《An Easily Started Problem With No Solution In Sight》 ， 有点好玩， 就 翻译一下， 下面 是 译文 。
一个简单开始的问题， 目前还看不到解决方法
我注意到 arXiv preprint server 上的一篇论文， 在 整个周末 。 这篇论文 讨论 了一个 数学问题， 这个 数学问题 的 题目 很简单， 但是， 很多 数学家 做了很多 努力， 也 还没有 解决 这个问题 。
这个问题叫做 “Collatz 猜想”， 这是一个 数论 问题， 数论 里 有很多问题， 题目 很简单， 小学生 也能看懂， 但是 证明很难， Collatz 猜想 就是 这一类 问题 的 其中之一 。 这一类 问题 因为 问题 看起来 很简单 而 常常 让 人们 迷惑， 以为 证明 也很简单 。
我们来看看 Collatz 猜想， 对于 一个 正整数 n， 我们定义一个 函数 f ( n ) ， 如果 n 是 偶数， f ( n ) = n / 2 ， 如果 n 是 奇数， f ( n ) = ( 3 n + 1 ) / 2 ，
这样， 对于 正整数 n， 可以 调用 f (n)， 让 n1 = f (n) ， n2 = f (n1) ， n3 = f (n2) ， 这样一直调用下去， 直到 f ( n [ k-1 ] ) = 1 ， k 表示 调用 f ( n ) 的 次数，
可以 把 这样 调用了 k 次 f (n) 的 过程 记为 fk (n) 。
Collatz 猜想 就是 对于 任意一个 正整数 n， 都存在一个 k， 使得 fk (n) = 1 。
简单， 对吧 ？
我们来看 几个 例子， 比如， f (2) = 1， f (4) = 2， f(8) = 4， 一般的， f ( 2^k ) = 2^(k - 1) ， 所以， 这个猜想 和 2 有某些密切关系 。
如果 n = 7 ， 会怎么样呢 ？
f (7) = ( 3 * 7 + 1 ) / 2 = 11
f (11) = 17
f (17) = 26
f (26) = 13
f (13) = 20
f (20) = 10
f (10) = 5
f (5) = 8
f (8) = 4
f (4) = 2
f (2) = 1
数一下， 可以看到 调用了 11 次 f (n) ， 即， 当 n = 7 时， k = 11 。
但 当 n = 27 时， k = 111 (!) ， （译注： 这个 感叹号 (!) 是不是表示 阶乘 ？ 不知道 ）
上面 计算过程 中 每一次 f (n) 的 结果 按顺序放到一起 可以组成 一个 序列， 这个 序列 显示出一个 增长 - 下降 - 增长 - 下降 这样一种 行为趋势，
比如 11 到 26 是 增长， 26 到 13 是 下降， 13 到 20 是 增长， 20 到 5 是 下降， 5 到 8 是 增长， 8 到 1 是 下降 。
作为结论， 有时候 把 这种 增-降-增-降 的 序列 称为 “冰雹序列”， 因为 这 看起来 像 下冰雹 时 冰雹 在 云层 里 弹跳起伏 。
（译注： 冰雹 还会在 云层 里 弹跳起伏 ？ 云彩 是 蹦床 吗？ 但 原文 好像 意思就是 云层 是 蹦床）
下面 来 看一个 图表， 这个 图表 画的是 10000 以内 的 正整数 对应 的 k ：
这是 一张 nice 的 图， 看起来 这里面 一定 有些 Pattern （模式 、规律）， 只是 还没有被 量化 。
So， 为什么我们要 相信 这个 猜想 呢 ？ 它 已经被 计算机 验证 到了 n = 2^60 ， 这是一个 可观 的 大数字 。 当然， 这不是 证明 ， 但是 它 是 一个 不错 的 证据 。
如果 你 玩 这个 序列 玩了一会， 你会发现， 序列里 的 每一个 奇数 平均 差不多 是 下一个（previous） 奇数 的 3/4 （译注 ： 这里的 “previous” 似乎应该 译为 “下一个”， 因为 奇数 是 增长 的， 只有到 偶数 才会 降下来） ， 所以， 这是一个 启发， 为什么这个 序列 最终 会 降下来 （当然， 这不是 证明， 只是一个 提示） 。
这样的 猜想 有 许多， 尤其是 在 数论 领域， 它们 都 容易 陈述， 但是 极其（变态） 难以证明 。
Twin Prime 猜想 受到 许多 关注， 在 若干年 前 。 它 还没有 被 证明， 但是 已 取得了 许多 进展 。
又比如 哥德巴赫猜想， 一个 偶数 可以表示 为 2 个 质数 之 和 。
我想 这就是 数论 吸引人 的 一个地方： 你可以 告诉 大街 上的 一个 普通人 你 研究 的 数论问题 是什么， 他们也能听懂 。 但是 研究这些问题 需要 做 深入 的 数学工作， 比如 用 代数拓扑 来 研究 。
结尾， 下面 有 一幅图， 这幅图 是 从 动力系统 点 的 视角 来看 Collatz 猜想 。（译注： 动力系统 ( dynamical system ) 是 一个 数学概念）
Collatz map 是 复平面 上 的 整数 分布 的 一个 约束 。
具体 的 我就不叙述了， 这里面 包含了 正弦函数 余弦函数 和 各种东西 。
你也许看过 那些 很漂亮 的 分形图案 （译注： 分形 ( fractal ) 是 一个 数学概念） ， 生成 分形图案 的 一种 标准技术 就是 取 一张 Collatz map 这样 的 map， 把 这张 map 迭代渲染 在 复平面 上， 用 各种 方式 对 点 着色， 着色 的 规则 由 迭代 收敛 的 规则 决定 。
通过 Collatz map， 你 拿到了 这样一张 非常漂亮 的 分形图案 （译注： 就是 下面 这幅图） ， 这也 揭示 了 一些 表面简单 的 东西 是 怎样 隐藏了 非常复杂 的 行为， 这也是 数学家 为 数学 着迷 的 原因 之一， 希望你也能 享受 这样的 乐趣 。
以上 是 译文， 下面 附上 英文原文 和 作者简介 。
