图的应用
最小生成树
生成树回顾
- 生成树：所有顶点均由边连接在一起，但不存在回路的 图
- 一个图可以有多个不同的生成树
- 所有的生成树具有以下的共同特点:
- 生成树的顶点个数与图的顶点个数相同
- 生成图是图的极小连通子图，去掉一条边则非连通
- (n) 个结点的连通图的生成树有 (n-1) 条边
- 生成树再加一条边会形成回路
- 无向图的生成树:
- 深度优先生成树
- 广度优先生成树
最小生成树
对于一个无向网, 该网所得有生成树中, 各边权值和最小的生成树叫做最小生成树.
典型用途: 用最小的成本在城市之间建立通信网
MST 性质:
在生成树的构造过程中, 图的 (n) 个顶点分为两个集合:
- 已经位于生成树的顶点集: U
- 尚未落入生成树的顶点集: V-U
接下来应该加入连通U与V-U中顶点的边中选取权值最小的边, 且不能形成环路
Prim 算法
思想:
- 开始时 U 中仅包含一个顶点, 在 U 集合中找一个顶点, V-U 中找一个顶点, 将依附于这两个顶点的边加入生成树, 这条边具有的特点是: 符合要求的边中权值最小.
Kruskal 算法
思想:
- 贪心. 一开始最小生成树的状态为 n 个顶点而无边的非连通图 T=(V,{}), 每个顶点自成一个连通分量.
- 在边集合 E 中选取权值最小的边, 若该边依附的顶点落在 T 的不同连通分量上(即加入这条边不会形成环) , 则将这条边加入T ,否则舍去这条边, 选取下一条代价最小的边.
两个算法的比较:
| 算法 | Prim | kruskal |
|---|---|---|
| 思想 | 选择点 | 选择边 |
| 复杂度 | (O(n^2)) | (O(elog_2e)) |
| 适用范围 | 稠密图 | 稀疏图 |
最短路径
典型应用: 交通网络问题:
- 顶点:地点
- 弧:表示两个地点之间连通
- 弧上的权值: 两个地点之间额距离, 交通费或者途中花费的时间等等
问题抽象: 在有向网中 A 点到 B 点的多条路径中, 寻找一条权值和最小的路径,称为最短路径.
与最小生成树的区别: 最短路径不一定要包括所有的顶点或边.
Dijkstra 算法--单源最短路径
-
初始化:先找出源点 (V_0) 到各终点 (V_K) 的直达路径((V_0,V_K)) ,即通过一条弧到达的路径. 若不存在, 权值记为无穷大.(S = {V_0},T = V-S)
-
选择:从这些路径中找一条最短的路径((V_0,U)), (U) 加入 (S)
-
更新:然后对其余各条路径进行适当调整:
若图中存在路径 ((U,V_K)) 使得 ((V_0,U)+(U,V_K)<(V_0,V_K)) ,
则用路径 ((V_0,U)+(U,V_K)) 代替 ((V_0,V_K))
再调整后的各条路径中,再在 (T) 寻找长度最短的路径, 以此类推
Floyd 算法--所有顶点间的最短路径
求所有顶点间的最短路径：
- 以每一个顶点为源点，重复执行 Dijkstra 算法 n 次 (O(n^3))
- Floyd 算法
初始：建立一个邻接矩阵, 对角线元素置为0, 不直接相连的顶点置为(infty) , 否则置为权值. 然后依次在原来的直接路径中加入中间顶点, 若加入后路径变短, 则修改. 所有顶点探查完毕后, 结束.
过程图
初始 : (left[egin{array}{lll}0 & 4 & 11 \6 & 0 & 2 \3 & infty & 0end{array} ight]) 路径: (egin{array}{|l|l|r|} hline & mathrm{AB} & mathrm{AC} \ hline mathrm{BA} & & mathrm{BC} \ hline mathrm{CA} & & \ hline end{array})
加入A :(left[egin{array}{lll}0 & 4 & {11} \6 & 0 & 2 \3 & {color{Blue}7} & 0end{array} ight]) 路径: (egin{array}{|l|l|r|} hline & mathrm{AB} & mathrm{AC} \ hline mathrm{BA} & & mathrm{BC} \ hline mathrm{CA} &mathrm{{color{Blue} {CAB} } } & \ hline end{array})
加入B:(left[egin{array}{lll}0 & 4 & {color{RED} 6} \6 & 0 & 2 \3 & {color{Blue}7} & 0end{array} ight]) 路径: (egin{array}{|l|l|r|} hline & mathrm{AB} & mathrm{ color{RED}{ABC} }\ hline mathrm{BA} & & mathrm{BC} \ hline mathrm{CA} &mathrm{{color{Blue} CAB} } & \ hline end{array})
加入C :(left[egin{array}{lll}0 & 4 & color{red}6 \{color{green} 5} & 0 & 2 \3 & {color{Blue}7} & 0end{array} ight]) 路径: (egin{array}{|l|l|r|} hline & mathrm{AB} & mathrm{{color{RED}{ABC} }} \ hline mathrm{{color{green} {BCA} }} & & mathrm{BC} \ hline mathrm{CA} &mathrm{{color{Blue} {CAB}} } & \ hline end{array})
用顶点表示活动的网络(AOV网络)
把一个工程分为若干个子工程, 只要这些子子工程(活动)完成了, 工程就完成了.
AOV网络: 用一个有向图表示一个工程的各个子工程的相互制约关系, 顶点表示活动, 边表示活动之间的制约
拓扑排序
由上表得 AOV 图:
AOV 网络特点:
- i 到 j 有一条有向路径, 则 i 为 j 的前驱, j 为 i 的后继.
- 若<i, j> 为图中有向边, 则 i 为 j 的直接前驱, j 为 i 的直接后继.
- 由于AOV 网络中, 前驱表示先决条件, 因此在 AOV 网络中不允许出现有向环, 对于给定的 AOV 网络, 必须判断它是否存在有向环----拓扑排序
拓扑排序的定义:
- 将 AOV 网络中各个顶点排列成一个线性有序序列, 保证原 AOV 网络中的前驱顶点一定位于后继顶点之前.
步骤:
- 在网络中找一个没有前驱的顶点输出.
- 在网络中删除这个顶点以及所有出边.
- 不断重复, 直到找不到无前驱的顶点(此时网络中仍然存在顶点,则该AOV图中含有向环)或者所有的顶点都已经输出.
如上述 AOV 图可以这样拓扑排序(注意不唯一):
用边表示活动的网络 (AOE 网络)
AOE 网络: 用有向边表示活动, 有向边上的权值表示持续时间,顶点表示事件.
如图所示, 事件表示在它值钱的活动已经完成, 之后的活动可以开始.
对应的有向图:
AOE 网络应用:
- 估计工程总共需要的时间
- 为缩短工程所需时间, 应该加快哪些活动?
关键路径
定义: 路径长度最长的路径
- 入度为零的点: 源点, 表示工程开始
- 出度为零的点: 汇点, 表示工程结束
只要找到了关键路径, 上面的两个问题就能解决.
几个描述量:
- ve(vj):事件 (v_j) 最早发生时间
- vl(vj):事件 (v_j) 最晚发生时间
- e(i): 活动 (a_i) 最早开始时间
- l(i):活动 (a_i) 最晚开始时间
- l(i)-e(i): 完成活动 (a_i) 的时间余量, 即在这一段时间内任何时候开始都不会影响到进度.
关键活动: 关键路径上的活动,l(i)- e(i)==0.只要找到关键活动, 就能构建关键路径.
对于一个事件来讲, 它相邻的活动可能不止两个;对于一个活动来讲, 他相邻的事件仅有确定的两个.
(v_i-a(不止一个)->v_j-b->v_k)
需要计算的量:
- (e(b) = ve(v_j))
- (l(b) = vl(v_k)-w_{j,k})
- (ve(v_j) = max(ve(v_i)+w_{i,j}))
- (vl(v_j)=min(vl(v_k)-w_{j,k}))
步骤:
-
正向计算 (ve())
(ve(v_1)= 0), 则根据递推公式可以求出
-
反向计算 (vl())
由最后一个事件的最晚结束时间往前推
-
求各个活动的 (l()-e())
举个例子：
对于这张网络:
有如下分析:
则关键路径为:
┌→V7─↴
V1→V2→V5→V8→V9
分析:
- 两个顶点之间存在多条关键路径, 需要同时缩短这些关键路径以减少总的时间.
- 若关键事件缩减过多, 会造成它不再是关键事件.