数学篇 cad.net 点乘和叉乘_注释包含数学

向量

在编程上面,向量用(X,Y,Z)表示,也就是(123.156,194.156,215,00)

唉!那么和点的数据结构是一样的.

它表示(0,0,0)到(X,Y,Z)的方向和大小(长度).

它主要的目的是累加方向,也就是如果你从a点到b点,又从b到某个方向的时候可以用它.

而单位向量是什么?

      可以看下面点乘中的 public static Point3d GetNormal(this Point3d ob_vector) 了解得知 :)

那么两个点怎么转换成向量呢？

      数学上就是b点-a点=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),而cad提供了一个方法b.GetVectorTo(a).

点乘的意义

下图所示,oa是向量,ob是向量,求op的距离和p点坐标.

现象就是a点投影到P点上,会呈现一个90度直角...而且oa实际上是任意的,不需要和x轴重合(带角度也可以).

虽然说B站有视频教程,但是直接看代码貌似理解更方便...

代码:   

        /// <summary>
        /// 点积,求投影长度
        /// </summary>
        /// <param name="o">原点</param>
        /// <param name="a"></param>
        /// <param name="b"></param>
        /// <returns>长度</returns>
        public static double DotProductLength(Point3d o, Point3d a, Point3d b)
        {
            var oa_vector = o.GetVectorTo(a);
            var ob_vector = o.GetVectorTo(b);

            //单位向量,cad自带的
            Vector3d ob_UnitVector = ob_vector.GetNormal();
            //求得op长度
            var op_length = oa_vector.DotProduct(ob_UnitVector);//点乘,=(v1.X * v2.X) + (v1.Y * v2.Y) + (v1.Z * v2.Z);             
            return op_length;
        }
         
        /// <summary>
        /// 点积,求投影坐标
        /// </summary>
        /// <param name="o">原点</param>
        /// <param name="a"></param>
        /// <param name="b"></param>
        /// <returns>坐标点</returns>
        public static Vector3d DotProduct(Point3d o, Point3d a, Point3d b)
        {
            //点乘就是将oa向量投影到ob向量上面
            //单位向量,cad自带的
            Vector3d ob_UnitVector = o.GetVectorTo(b).GetNormal();
             
            //求得op坐标(也就是呈现90度角的坐标)
            //如果O不在坐标原点,需要平移,那么最终P的最终坐标 = O的坐标 + 求出来的P的坐标 
            Vector3d v = ob_UnitVector * DotProductLength(o,a,b);
             
            //从0,0再平移回去 
            return new Vector3d(v.X + o.X, v.Y + o.Y, v.Z + o.Z);
        }


        /// <summary>
        /// 获取单位向量,仿照向量的GetNormal的数学实现,了解原理,用了Point3d代替向量
        /// </summary>
        /// <param name="ob_vector"></param>
        /// <returns></returns>
        public static Point3d GetNormal(this Point3d ob_vector)
        {
            //https://www.bilibili.com/video/BV1qb411M7wL?from=search&seid=9280697047969917119

#if true
            //向量模长(也就是长度)
            var ob_length = Point3d.Origin.DistanceTo(ob_vector);
#else
            //两点的距离
            //向量模长数学版 √(x²+y²+z²)
            var ob_length =  Sqrt(ob_vector.X * ob_vector.X +
                                  ob_vector.Y * ob_vector.Y +
                                  ob_vector.Z * ob_vector.Z); 
#endif
            //单位向量数学版 (x/ob_length,y/ob_length,z/ob_length) 
            return ob_vector / ob_length;
        }

测试代码:

        /// <summary>
        /// 测试点乘代码,点1=o,点2=a,点3=b
        /// </summary>
        [CommandMethod("tete")]
        public void tete()
        {
            var dm = Acap.DocumentManager;
            Editor ed = dm.MdiActiveDocument.Editor;
            var options = new PromptPointOptions("
点位置:");
            var pts = new List<Point3d>();

            for (int i = 0; i < 3; i++)
            {
                var pot = ed.GetPoint(options);
                if (pot.Status != PromptStatus.OK)
                {
                    return;
                }
                pts.Add(pot.Value);
            }

            var length = DotProduct(pts[0], pts[1], pts[2]);
            ed.WriteMessage("
op长度是:" + length);

            var ss = CrossNormal(Vector3d.XAxis, Vector3d.YAxis);
            ed.WriteMessage("
叉乘向量是:" + ss);
        }

再深入,通过AB和C求E点,就是 E == AC点乘AB

叉乘的意义

叉乘有三个意义:

二维叉乘:

A:返回值是数值,有正负,表示绕原点四象限的位置变换,也就是有向面积,面积属性可以用来求解凸包的单峰函数....知道有这个意义就好....

B:返回值是数值,有正负,如果大于0表示顺时针.

三维叉乘:

A:返回值是向量.例如X轴叉乘Y轴表示Z轴,

                          如果叉乘的不是XY轴,而是两个三维向量(并不需要90度),那么就可以求出一个平面的法向量.

 

             (左手叉乘)                                                                (右手叉乘)

同样的A叉乘B,左右手叉乘的方式刚好方向相反.图来自 

必要的 视频参考

左右手坐标系相互转换:

    如果将左a重合到右a,将左b重合到右b,那么左c和右c的关系刚好是正负的关系,结果*-1即可将左c变成右c.

        /// <summary>
        /// 叉积,二维叉乘计算
        /// </summary>
        /// <param name="a">传参是向量,表示原点是0,0</param>
        /// <param name="b">传参是向量,表示原点是0,0</param>
        /// <returns>其模为a与b构成的平行四边形面积</returns>
        public static double Cross(Vector2d a, Vector2d b)
        {
            // 抛出向量的思想,正常求平行四边形面积本来就是底乘以高
            // https://www.zhihu.com/question/22902370
            return a.X * b.Y - a.Y * b.X;
        }

        // 判断点在三角形内部 https://blog.csdn.net/pdcxs007/article/details/51436483
        // 视频,右手螺旋法则 https://www.bilibili.com/video/BV1S741157cb?from=search&seid=1379331852253162293
        /// <summary>
        /// 叉积,二维叉乘计算 |p1 p2| X |p1 p|
        /// </summary>  
        /// <param name="a">传参是点,表示原点为此</param>
        /// <param name="b">传参是点,表示以a到b组成向量</param>  
        /// <param name="n">传参是点,表示以a到n组成向量,此为判断点</param>
        /// <returns>返回值有正负,表示绕原点四象限的位置变换,也就是有向面积</returns>
        public static double Cross(Point2d a, Point2d b, Point2d n)
        {
            //这样计算没有保证原点.
            //三种计算是一样的,本质是矩阵,和传参顺序的问题
            //return (b.X - a.X) * (n.Y - a.Y) - (n.X - a.X) * (b.Y - a.Y);
            //return (a.X - b.X) * (a.Y - n.Y) - (a.X - n.X) * (a.Y - b.Y);
            return (a.X - n.X) * (b.Y - n.Y) - (b.X - n.X) * (a.Y - n.Y); 
        }

        /// <summary>
        /// 叉积,顺时针方向为真
        /// </summary>
        /// <param name="a">直线点1</param>
        /// <param name="b">直线点2</param>  
        /// <param name="n">判断点</param>
        /// <returns>返回值表示n点在ab向量的顺时针方向</returns>
        public static bool CrossClockwise(Point2d a, Point2d b, Point2d n)
        {
            return Cross(a, b, n) > -1e-6;
        }

        /// <summary>
        /// 叉积,求出法向量,三维叉乘(X轴*Y轴==Z轴)
        /// </summary>
        /// <param name="a">向量a</param>
        /// <param name="b">向量b</param>    
        /// <returns>返回值是一个向量,X*Y表示Z或者-Z,正负是左右手坐标系</returns>
        public static Vector3d CrossNormal(Vector3d a, Vector3d b)
        {
            //y1*z2-y2*z1,z1*x2-z2*x1,x1*y2-x2*y1
            return new Vector3d(a.Y * b.Z - b.Y * a.Z, a.Z * b.X - b.Z * a.X, a.X * b.Y - b.X * a.Y); 
        }

  

(完)