剑指67.剪绳子

题目描述

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段（m、n都是整数，n>1并且m>1，m<=n），每段绳子的长度记为k[1],...,k[m]。请问k[1]x...xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

思路

应用动态规划求解问题的特点：

• 题目是求一个问题的最优解（最大值或最小值）；
• 该问题能分解成若干个子问题（整体问题的最优解依赖各个子问题的最优解）；
• 子问题之间还有相互重叠的更小的子问题；
• 从上往下分析问题，从下往上求解问题（把已经解决的子问题的最优解存储到数组里，并把子问题的最优解组合起来逐步解决大问题）
• 每一步都可能面临若干个选择，只能把所有的可能都尝试一遍。

贪婪算法和动态规划不一样。应用贪婪算法解决问题时，每一步都可以做出一个贪婪的选择，基于这个选择，确定能够得到最优解。

思路1：动态规划。         （时间复杂度：O(n^2)， 空间复杂度：O(n)）

（1）计算顺序自下而上，在求f(i)之前，对于每一个j(0<i<j)而言，f(j)都已经求解出来了。

（2）求所有可能的f(j)*f(i-j)，并比较得出它们的最大值。

思路2：贪婪算法。        （时间复杂度：O(1)，空间复杂度：O(1)）

    按照如下的策略剪绳子，则得到的各段绳子的长度的乘积最大：

• 当n>=5时，尽可能多地剪长度为3的绳子；
• 当剩下的绳子长度为4时，把绳子剪成两段长度为2的绳子。

也就是

• 当n能被3整除时，乘积=3^(n/3)；
• 当n除3余1时，这时候发现多了一个1，于是拿出前面的一个3，然后把这个1和前面那个3分解为2*2，所以乘积为 3^(n/3 - 1) * 4；
• 当n除3余2时，乘积为3^(n/3) * 2

☆☆解法1（动态规划）

public class Solution {
    //动态转移的方程为：dp[n] = dp[n - i] * dp[i]，枚举i即可(1~n/2)
    public int cutRope(int target) {
        int[] dp = new int[target + 1]; // 0 ~ target
        if (target == 2)
            return 1;
        if (target == 3)
            return 2;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 3;
        for (int i = 4; i <= target; i++) {
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]*dp[i-j]);
            }
        }
        return dp[target];
    }
}

Note： n<=3时，要分段。但是n>=4时，3就不要再分了，因为3分段要小于3，我们要记录最大的。

☆☆解法2（贪婪算法）

public class Solution {
    public int cutRope(int target) {
        if (target == 2)
            return 1;
        if (target == 3)
            return 2;
        if (target % 3 == 0){
            return (int)Math.pow(3,target / 3); // 全3
        }else if (target % 3 == 1){
            return (int) Math.pow(3,target / 3 - 1) * 4;
        }else{ // target % 3 == 2
            return (int) Math.pow(3, target / 3) * 2;
        }
    }
}