数学分析学习笔记

数学分析学习笔记

xs，选了微积分，学的却是数分。

如果有写的不对的地方烦请指正，有些地方简写了。

自然数

皮亚诺公理：

• 0 是自然数
• 如果 (n) 为自然数，那么 (S(n)) 为自然数，(S(n)) 为 n 的后继，亦可以理解为 (n + 1)。
• 不存在 (n in N, S(n) = 0)。
• 如果 (n,m in N) 并且 (S(n) = S(m)) 那么 (n = m)。
• 数学归纳法公理：对于 (N) 的子集 (A)，如果 (0) 属于集合 A，如果 (n in A)，并且 (S(n) in A)。那么 (A = N)。

加法定义：

[n + m = egin{cases} n & (m = 0)\ S(n + m') & (m eq 0) end{cases} ]

加法结合律：((n + m) + k = n + (m + k))。

证明：

归纳 ((n + m) + 0 = n + (m + 0) = n + m)。

若 ((n + m) + k = n + (m + k))。

有 ((n + m) + S(k)=S((n + m) + k)=S(n + (m + k))=n + S(m + k)=n +(m + S(k)))

证毕。

引理：(0 + n = n)

证明：归纳法 (0 + 0 = 0)。若 (0 + k = k)，那么 (0 + S(k) = S(0 + k) = S(k))。

引理：(S(k) + n =S(k + n))

证明：(S(k) + 0 = S(k + 0) = S(k))。

(S(k) + S(n) = S(S(k) + n)=S(S(k + n))=S(k + S(n)))。

加法交换律：(n + m = m + n)

归纳：(n + 0 = 0 + n = n)，若 (n + k = k + n)，则 (n + S(k) = S(k) + n)。

证明：

(n + S(k) = S(n + k) = S(k + n) = S(k) + n)。

加法消去律：(a + b=b+c o a=c)

归纳：(a + 0 = 0+cLeftrightarrow a = c)，(a+S(k)=S(k)+cLeftrightarrow S(a + k)=S(k+c)Leftrightarrow a + k=k+c Leftrightarrow a=c)

乘法定义：

[n imes m = egin{cases} 0 & (m = 0)\ n imes m' + n & (m eq 0) end{cases} ]

引理：(a imes 0=0 imes a)

归纳：(0 imes0 =0)，(0 imes S(k) = 0 imes k + 0=0)。

引理：(a imes b+b = S(a) imes b)

归纳：(b = 0)，(a imes S(b) + S(b)=a imes b + a + S(b)=S(a imes b+b)+a=S(a) imes b+S(a)=S(a) imes S(b))

乘法交换律：(ab=ba)

归纳：(a imes 0 = 0 imes a)，(a imes S(k) = a imes k + a=k imes a + a = S(k) imes a)

乘法分配律：(a(b+c)=ab+ac)

归纳：(a imes (b + 0) = ab)，(a(b+S(c))=aS(b+c)=a(b+c)+a=ab+ac+a=ab+aS(c))

乘法结合律：((nm)k = n(mk))

证明：

(nm0=n(m0)=0)，如果 (nmk=n(mk))，那么 (nmS(k)=n(mS(k)))。

(nmS(k)=nmk+nm=n(mk+m)=n(mS(k)))

定义正整数：(N setminus set 0)

序：对于两个自然数 (n,m) 定义 (n > m) 当且仅当存在正整数 (k) 使得 (m + k = n)。(n ge m) 存在自然数。

序的性质：

• 自反性 (a ge a)
• 传递性 (a ge b ge c)
• 反对称性 (a ge b,b ge a o a=b)
• 加法不影响序 (a ge b o a + c ge b + c)
• 乘法不影响序 (a > b and c eq 0 o ac > bc)

都很好证明

定理：对于 (a,b) 必有 (a < b)，(a = b)，(a > b) 其中之一成立。

乘法消去律：(ac=bc and c eq 0 o a=b)。由于 (a,b) 之间存在序，乘法保持序不变，所以 (a = b)。

带余除法： 对于自然数 a 和正整数 b 存在 k，r 满足 (a = kb +rquad (b > 0,0 le r < b))

对 n 归纳即可。

整数

形式定义 (a - b) 来得到的

有理数

形式定义 (a / b) 来得到的。

域

域是一个集合 F，具备加法和乘法两种运算，满足：

加法和乘法具有交换律和结合律，分配律，并分别有单位元 0，1，且 (1 eq 0)。

对任意 (x in F)，存在加法逆元 (-x in F)，(x + (-x)=0)

对 (forall x in F setminus {x})，存在乘法逆元 (x^{-1} in F) 使得 (x imes x^{-1}=1)

所以一个域上进行加减乘除

序域

当域撞上序关系。

对于任意 (x, y in F)，(x le y, y le x) 至少有一个成立。

满足自反，传递，反对称性。对（正数）乘法和加法保序。

界

设 F 是一个序域，设 A 是 F 的一个子集。

称 A 有界，如果存在 (M in F) 满足 (x in A o |x| le M)。

上下界不再给出定义，注意空集的界是任意的。

注意：有界代表着有上下界

最值与确界

(max min sup inf) 最大值，最小值，上确界，下确界。

当存在最大值时上确界就等于最大值，所以上确界是最大值不存在时的替代品，比如区间 ((2,3)) 没有最大值，但有上确界。

一个例子

(A = {x in Q mid x^2 le 2})

结论：有界，无上确界（在 Q 中）。

实数域

公理：任何非空有上界的子集都有上确界的序域。

定理：(N) 在 (R) 中无上界。

证明：若 B 是上界，B - 1 则不是，一定有 (A in N > B - 1)，那么 (A + 1 in N >B) 矛盾。

上下取整的定义：

[lceil x ceil := inf {n in  mid x le n}\ lfloor x floor := sup {n in  mid n le x}\ ]

有理数在实数中稠密

对任意实数 a < b，存在有理数 r 使得 a < r < b。

证明想法：将 a，b 在数轴上画出来，一定存在巨大的自然数 N 使得 (a,b in [-N,N])。将这个区间划分成 (2N^2) 份，每份长度 (frac 1N)，满足这个长度比 (b - a) 要小，这样假设有个人从左端点开始，每次走一份路，第一次大于 a 的位置，不会大于 (a + frac 1N)，小于 b。形式化的写一下即可。

无理数在实数中稠密

对任意实数 a < b，存在无理数 r 使得 a < r < b。

因为存在有理数 t 使得 (a - sqrt 2<t<b-sqrt 2)。令 (r = t + sqrt2) 即可。

确界公理应用：开方

对于正整数 n 和正数 y，存在唯一正数 x 使得 (x^n=y)。

证明：

如果存在，肯定唯一，因为是序域。

现在我们来证明存在，在上面我们说了 (A = {x in Q mid x^2 le 2}) 中是上确界，但有上界。

同理，我们设 (A = {x in R mid x^n < y})，可以证明它的上确界就是 (sqrt[n]{y})。具体证明使用放缩法。

一个放缩技巧 (0 < b < 1)：

[(1+b)^n < 1 + 2^nb\ (1-b)^n > 1 - 2^nb ]