1237 G. Balanced Distribution

1237 G. Balanced Distribution

题意:
给定长度为(n)的环序列(a_0,cdots,a_{n-1})和常数(k),保证序列平均值是整数.每次操作将环上连续(k)个数在和不变的前提下重新分配值.求最少操作次数使得所有值一样,并输出方案.

题解:

1. 考虑线段上的情况.如果最左边的(k)个数和大于((k-1)ar a),可以将前((k-1))个数分配为(ar a),将剩余的值分配给第(k)个数,然后递归地处理右边剩下的((n-k))个数.否则,先处理右边((n-k))个数,并且要使得第(k)个数足够大能够完成前(k)个数的分配.此时,同样先考虑这部分最左边的(k)个数的和是否能完成分配.
   实现中可以使用递归函数distribute(l,len,need)表示处理以(l)为起点,(len)为长度的区间,并且最左侧需要额外的(need)值.外部以distribute(0,n,0)的方式调用.具体细节参考代码.
   可以发现,每次长度会减少(k-1),并且当长度恰为(k)的时候只需要处理一次,因此需要操作(lceildfrac{n-1}{k-1} ceil).
2. 如果区间([x,y])满足(displaystylesum_{i=x}^ya_i=(y-x+1)ar a),那么就能单独处理这一段区间.这个条件也可以写成( ext{prefix_sum}_y-yar a= ext{prefix_sum}_{x-1}-(x-1)ar a).因此可以将所有满足( ext{prefix_sum}_i-iar a)相等的位置作为断点(将(i)和(i+1)断开).
3. 假设有两段相邻的区间长度分别为(x)和(y),分开操作需要(lceildfrac{x-1}{k-1} ceil+lceildfrac{y-1}{k-1} ceil),合并操作需要(lceildfrac{x+y-1}{k-1} ceil),注意,当且仅当(xequiv yequiv1pmod{k-1})的时候,合并操作次数会更少.因此,应该将环分解成若干模(k-1)余1的区间,否则直接对整个环当成线段进行操作.
4. 长度模(k-1)余1等价于两个断点位置模(k-1)的意义下相差(1),因此在每种( ext{prefix_sum}_i-iar a)相等的位置中找到某些断点使得它们位置模(k-1)是一个连续的递增(每次在模的意义下(+1))序列.由于是环,考虑倍长位置序列(倍长后半部分需要(+n)).从后往前扫得到每个断点最近的下一个合法位置(即该位置模(k-1)意义下是当前位置(+1)),然后用倍增的方法得到合法的下(2^i)个位置.然后从倍长前半部分的每个位置出发,判断是否能够在若干步后走到倍长的后半部分的对应位置(即从(i)经过若干步到(i+n)).从这些合法的位置选一个步数最长的作为答案.最后,根据这些断点对每个区间进行第一步所述的分配.
   代码