29. 最大连续子序列和（一）

一. 定义

1.序列：

给定一组数据，这组数据就叫做序列。这里的数据有可能是一年的交易额，或者有其余的含义。所以数据并不是经过排序的。比如 data = (1, 4, -3, 7, -6, 10).

2.连续子序列：

在序列中，任取连续区间的一组数据，叫做连续子序列。

3.最大连续子序列和：

把每个子序列看作一个单元，对其中的所有元素求和，获得的值就是一个子序列和。将所有子序列都求和，并从中选出一个最大的，这个值就是最大连续子序列和。

二.代码实现

1.实例分析

假设我们有一组数据，data = (1, 4, -3, 7, -6, 10)，第一个子序列是（1） ，它的和就是 1 。第二个子序列是（1, 4），它的和是 5 。其余同理。

于是我们很快想出一个算法，用于计算最大连续子序列和，代码如下：

int max_sub_sum(const vector<int>& data) {
    const int MIN = numeric_limits<int>::min();
    int result = MIN;

    for (int range_ctrl = 0; range_ctrl < data.size(); range_ctrl++) {
        for (int sub_end = range_ctrl; sub_end < data.size(); ++sub_end) {
            int sub_sum = 0;
            for (int sub_start = range_ctrl; sub_start <= sub_end; ++sub_start) {
                sub_sum += data[sub_start];
            }
            if (sub_sum > result) {
                result = sub_sum;
            }
        }
    }

    return result;
}

2. 代码分析

显然，最外层循环用于控制大范围，让我们不至于跑到序列的外面。第二层和第三层循环应该看成一个整体，它们用于控制一个子序列的首尾下标。我们仔细观察发现，第二层循环控制子序列的结束下标，第三层循环控制子序列的开始下标。我们先卡住结束位置，再从头开始进行累加，一直加到结束位置（这个结束位置的元素是要计算的，这就是用了 ≤ 符号的原因）。不难看出，算法的时间复杂度是 O（n³），效率并不是很好。经过分析，我们得知，大部分的时间都用在了重复计算上，罪魁祸首就是第三层循环。那么我们来优化一下。

3. 优化

int max_sub_sum_2(const vector<int>& data) {
    const int MIN = numeric_limits<int>::min();
    int result = MIN;

    for (int sub_start = 0; sub_start < data.size(); ++sub_start) {
        int sub_sum = 0;
        for (int sub_end = sub_start; sub_end < data.size(); ++sub_end) {
            sub_sum += data[sub_end];
            if (sub_sum > result) {
                result = sub_sum;
            }
        }
    }

    return result;
}

现在只有两层循环。外层循环用于控制子序列的开头，内层循环用于控制子序列的结尾。外层循环的作用其实并没有改变，它仍然防止我们跑到序列的外边去。但是内层循环却不一样了，现在内层循环实际上充当了指定子序列开始的角色，而子序列结尾用序列大小控制就可以。在内层循环中，我们每累加一个元素，产生的和就是一个子序列的和，然后再进行判断即可。这样时间复杂度就成了 O（n²）。