大话数据结构 -07-3 最小生成树

 最小生成树

一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。

把构造连通网的最小代价生成树称为最小的生成树。（最小成本，即n个顶点，用n-1条边把一个连通图连接起来，并且使得权值的和最小）

经典算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

一、普里姆算法（Prim）

 初始化工作：

构造最小生成树

第一次大循环，从v0开始，找到了第一个与v0权重最小所对应的顶点，并更新了lowcost(之前记录的是邻接矩阵的第一行，大循环后更新了找到的权值最小顶点所对应的邻接矩阵的行)

k=1,lowcost[1]=0(说明该顶点加入最小生成树) 更新后：lowcost={0，0，18，65535，65535，11，16，65535，12} adjvex={0，0，1，0，0，0，1，0，1}

i=2时，min=11，k=5，lowcost[5]=0 (将顶点5加入生成树)。

连接边由（adjvex[k]，k）定义，即（0，5）  其中 adjvex[5]=0。

用邻接矩阵的第五行更新lowcost={0，0，18，65535，26，0，16，65535，12} adjvex={0，0，1，0，5，0，1，0，1}

i=3时，min =12，k=8，lowcost[8]=0 (将顶点8加入生成树)。

连接边由（adjvex[k]，k）定义，即（1，8）  其中 adjvex[8]=1

用邻接矩阵的第8行更新lowcost={0，0，8，21，26，0，16，65535，0} adjvex={0，0，8，8，5，0，1，0，1}

 

i=4时，min =8，k=2，lowcost[2]=0 (将顶点2加入生成树)。

连接边由（adjvex[k]，k）定义，即（8，2）  其中 adjvex[2]=8

用邻接矩阵的第2行更新lowcost={0，0，0，21，26，0，16，65535，0} adjvex={0，0，8，8，5，0，1，0，1}   没有更新，第二行元素都比当前lowcost大

i=5时，min =16，k=6，lowcost[6]=0 (将顶点2加入生成树)。

连接边由（adjvex[k]，k）定义，即（1，6）  其中 adjvex[6]=1

用邻接矩阵的第6行更新lowcost={0，0，0，21，26，0，0，19，0} adjvex={0，0，8，8，5，0，1，6，1}   

 

i=6时，min =19，k=7，lowcost[7]=0 (将顶点2加入生成树)。

连接边由（adjvex[k]，k）定义，即（6，7）  其中 adjvex[7]=6

用邻接矩阵的第7行更新lowcost={0，0，0，16，7，0，0，0，0} adjvex={0，0，8，7，7，0，1，6，1}   

i=7时，min =7，k=4，lowcost[4]=0 (将顶点2加入生成树)。

连接边由（adjvex[k]，k）定义，即（7，4）  其中 adjvex[4]=7

用邻接矩阵的第4行更新lowcost={0，0，0，16，0，0，0，0，0} adjvex={0，0，8，7，7，0，1，6，1}   

 

i=8时，min =16，k=3，lowcost[3]=0 (将顶点2加入生成树)。

连接边由（adjvex[k]，k）定义，即（7，3）  其中 adjvex[3]=7

用邻接矩阵的第3行更新lowcost={0，0，0，0，0，0，0，0，0} adjvex={0，0，8，7，7，0，1，6，1}   

 

换一种思路理解，如下：（非常重要）有助于理解代码，为什么建立两个数组lowcost和adjvex。

二、克鲁斯卡尔算法(Kruskal)

 因为权值在边上，直接去找最小权值的边来构建生成树，但构建时要考虑是否会形成环路。

 使用边集数组存储，并按权值大小排序

定义find函数：

程序运行：

i=0； begin=4；parent[4]=0，return 4，所以n=4；end=7；parent[7]=0，return 7，所以m=7；m!=n，更新parent[4]=7； 连接边（4，7）加入生成树中

i=1； begin=2；parent[2]=0，return 2，所以n=2；end=8；parent[8]=0，return 8，所以m=8；m!=n，更新parent[2]=8； 连接边（2，8）加入生成树中

i=2； begin=0；parent[0]=0，return 0，所以n=0；end=1；parent[1]=0，return 1，所以m=1；m!=n，更新parent[0]=1； 连接边（0，1）加入生成树中

0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	0	8	0	7	0	0	0	0

i=3； begin=0；parent[0]=1>0，f=parent[0]=1，parent[1]=0；return 1，所以n=1；end=5；parent[5]=0，return 5，所以m=5；m!=n，更新parent[1]=5； 连接边（0，1）加入生成树中

（0已经与1相连，因此将与0相连的5放置再位置1）

0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	5	8	0	7	0	0	0	0

i=4； begin=1；parent[1]=5，parent[5]=0，return 5，所以n=5；end=8；parent[8]=0，return 8，所以m=8；m!=n，更新parent[5]=8； 连接边（1，8）加入生成树中

0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	5	8	0	7	8	0	0	0

i=5； begin=3；parent[3]=0，return 3，所以n=3；end=7；parent[7]=0，return 7，所以m=7；m!=n，更新parent[3]=7； 连接边（3，7）加入生成树中

0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	5	8	7	7	8	0	0	0

i=6； begin=1；parent[8]=0，return 8，所以n=8；end=6；parent[6]=0，return 6，所以m=6；m!=n，更新parent[8]=6； 连接边（1，6）加入生成树中

0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	5	8	7	7	8	0	0	6

i=7； begin=5；parent[6]=0，return 6，所以n=6；end=6；parent[6]=0，return 6，所以m=6；m==n，直接跳到下一个i循环。相等是因为边（5，6）形成了循环。

i=8； begin=1；parent[6]=0，return 6，所以n=6；end=2；parent[6]=0，return 6，所以m=6；m==n，直接跳到下一个i循环。相等是因为边（1，2）形成了循环。

i=9； begin=6；parent[6]=0，return 6，所以n=6；end=7；parent[7]=0，return 7，所以m=7；m!=n，更新parent[6]=7； 连接边（6，7）加入生成树中

0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	5	8	7	7	8	7	0	6

此后的循环均造成环路。