动态规划：最大子矩阵

　　在DP问题中有一种叫最大子矩阵问题，刚好碰到了这一题，于是学习分享之。

　　让我们先来看一下题目：ZOJ Problem Set - 1074

　　http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=1074

　　题目分类：动态规划

　　题目大意：就是输入一个N*N的矩阵，找出在矩阵中，所有元素加起来之和最大的子矩阵。

　　例如在    0 -2 -7 0　这样一个4*4的矩阵中，元素之和最大的子矩阵为   9 2　 ，它们之和为15。　

　　　　　　 9  2 -6 2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-4 1
　　　　　　-4 1 -4 1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 -1 8
　　　　　　-1 8 0 -2

 

　　这是一个最大子矩阵问题，我们怎么来解决这个问题呢？任何问题都会有它的简化的问题，这是二维的数组，与之对应的，我们可以先尝试一下一维数组。

　　如果有一个一维数组a[n]，如何找出连续的一段，使其元素之和最大呢？

　　例如有 1 2 -3 4 -2 5 -3 -1 7 4 -6 这样一个数组，那么显然 4 -2 5 -3 -1 7 4 这个子数组元素之和最大，为4+(-2)+5+(-3)+(-3)+7+4=14。为找到一维数组的最大子数组，我们可以有以下方法。

　　1、穷举法

for(i=0;i<n;i++)
{
    for(j=0;j<=i;j++)
    {
        sum = 0;
        for(k=j;k<=i;k++)
            sum += a[k];
        if(sum > max)    max = sum;
    }
}

　　穷举法在n很大的情况下，需要运行的次数非常的多，有三层循环，所以n很大时不能使用这种方法。

　　2、带记忆的递推法

record[0] = 0;
for(i=1;i<=n;i++)                    //用下标1~n来储存n个数
    record[i] = record[i-1] + a[i];  //用record记录a[i]前i个的和
max = 0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
    for(j=0;j<i;j++)
    {
        sum = record[i] - record[j];
        if(sum > max)    max = sum;
    }
}

　　这种方法的时间复杂度明显比上一种的低了很多，时间复杂度为O(n²)。这种方法其实我们再继续优化一下，就变成了我们所需要的动态规划。

　　3、动态规划

　　我们来分析一下最优子结构，若想找到n个数的最大子段和，那么要找到n-1个数的最大子段和，这就出来了。我们用b[i]来表示a[0]...a[i]的最大子段和，b[i]无非有两种情况
：(1)最大子段一直连续到a[i] 　(2)以a[i]为首的新的子段　。由此我们可以得到b[i]的状态转移方程：b[i]=max{b[i-1]+a[i],a[i]}。最终我们得到的最大子段和为max{b[i], 0<=i<n}， 算法如下：

int MaxSubArray(int a[],int n)
{
    int i,b = 0,sum = 0;
    for(i = 0;i < n;i++)
    {
        if(b>0)                // 若a[i]+b[i-1]会减小
            b += a[i];        // 则以a[i]为首另起一个子段
        else    
            b = a[i];
        if(b > sum)    
            sum = b;
    }
    return sum;
}

　　说了这么多，这跟最大子矩阵有什么关系呢？当然有关系学啦！二维就是一维的扩展，把二维压扁不就变成一维了吗？

　　我们假设所求N*N的矩阵的最大子矩阵是从i列到j列，q行到p行，如下图所示（假设下标从1开始）

　　a[1][1]　　a[1][2]　　······　　a[1][i]　　······　　a[1][j] 　　······　　a[1][n]

　　a[2][1]　　a[2][2]　　······　　a[2][i]　　······　　a[2][j]　　 ······　　a[2][n]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　······

　　a[q][1]　　a[q][2]　　······　　a[q][i]　　······　　a[q][j]　　······　　a[q][n]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　······

　　a[p][1]　　a[p][2]　　······　　a[p][i]　　······　　a[p][j]　　······　　a[p][n]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　······

　　a[n][1]　　a[n][2]　　······　　a[n][i]　　······　　a[n][j]　　······　　a[n][n]

　　最大子矩阵就是图示红色部分，如果把最大子矩阵同列的加起来，我们可以得到一个一维数组{a[q][i]+······+a[p][i] , ······ ，a[q][j]+······+a[p][j]} ，现在我们可以看出，这其实就是一个一维数组的最大子段问题。如果把二维数组看成是纵向的一维数组和横向的一维数组，那问题不就迎刃而解了吗？把二维转换成了我们刚刚解决了的问题。

　　最终我们得到了ZOJ Problem Set - 1074的解法，代码如下：http://paste.ubuntu.com/15272521/

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

int maxsub(int a[],int n)    
{
    int i,max=0,b=0;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        if(b > 0)
            b += a[i];
        else 
            b = a[i];
        if(b > max)
            max = b;
    }
    return max;
}

int main()
{
    int n,i,j,k,maxsubrec,maxsubarr;
    int dp[101][101],arr[101];
    while(cin>>n)
    {
         for(i=0;i<n;i++)
             for(j=0;j<n;j++)
                 cin>>dp[i][j];
         maxsubrec = 0;
         for(i=0;i<n;i++)
         {
             memset(arr,0,sizeof(arr));
             for(j=i;j<n;j++)
             {
                 for(k=0;k<n;k++)
                     arr[k] += dp[j][k];
                 maxsubarr = maxsub(arr,n);
                 if(maxsubarr > maxsubrec) maxsubrec = maxsubarr;
             }
         }
         cout<<maxsubrec<<endl;
    }
}