参考：https://blog.csdn.net/nk_test/article/details/46242401
先看一下经典的埃拉特斯特尼筛法：
1 int prime[MAXN],vis[MAXN]; 2 void Prime(int n) 3 { 4 int cnt=0; 5 memset(vis,1,sizeof(prime)); 6 vis[0]=vis[1]=0; 7 for(int i=2;i<n;i++) 8 { 9 if(vis[i]) 10 { 11 prime[cnt++]=i;//保存素数 12 for(int j=i*i;j<n;j+=i)//i*i开始进行了稍微的优化 13 vis[j]=0;//不是素数 14 } 15 } 16 return ; 17 }
时间复杂度为O(nloglogn)，原理很简单，一个素数的倍数一定是合数，删除即可。从i×i开始而不从2×i开始是因为2×i早被2的倍数筛选过了。但埃式筛法的缺点是有些数会被重复筛选，比如30会被2×15和5×6筛选。
下面介绍欧拉筛，首先我们知道任何数都能被一些素数的乘积表示，假设我们令每个合数只被它的最小素因数筛去，那么就是线性时间，算法复杂度降到了O(n)。先看代码：
1 const int MAXN=3000001; 2 int prime[MAXN];//保存素数 3 bool vis[MAXN];//初始化 4 int Prime(int n) 5 { 6 int cnt=0; 7 memset(vis,1,sizeof(vis)); 8 for(int i=2;i<n;i++) 9 { 10 if(vis[i]) 11 prime[cnt++]=i; 12 for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<n;j++) 13 { 14 vis[i*prime[j]]=0; 15 if(i%prime[j]==0)//关键 16 break; 17 } 18 } 19 return cnt;//返回小于n的素数的个数 20 }
代码中体现在：if(i%prime[j]==0)break;
prime数组中的素数是递增的,当 i 能整除 prime[j]，那么 i*prime[j+1] 这个合数肯定被 prime[j] 乘以某个数筛掉。
因为i中含有prime[j], prime[j]比 prime[j+1] 小。接下去的素数同理。所以不用筛下去了。
另外i*prime[j-1]的最小素因子只能是prime[j-1]，因为i的最小素因子是prime[j]，而prime[j]>prime[j-1],所以在满足i%prime[j]==0这个条件之前以及第一次满足该条件时,prime[j]必定是prime[j]*i的最小因子。证毕。
但是只是求素数的话欧拉筛有些没必要，除非数据很大会卡埃式筛，欧拉筛的很重要的应用是欧拉函数.