剑指 Offer 43. 1～n 整数中 1 出现的次数

思路

这题如果直接用暴力法，1~n逐一判断，每个数逐位判断需要O(L)的时间，其中L为n的位数，所以总的时间复杂度为O(L*n)，这显然会超时。

方法：逐位判断，找规律

假设n是4位数abcd, 即n=abcd，从右往左逐位分析：

- 对于n中的第4位数d：

    - 如果d ≥ 1，对于1~n中第4位数为1的数，则其他3位数可以为000~abc，共1+abc种情况，即(000~abc)1；

    - 如果d = 0, 对于1~n中第4位数为1的数，则其他3位数可以为000~abc-1，共1+abc-1种情况，即(000~abc-1)1。

- 对于n中的第3位数c：

    - 如果c>1，对于1~n中第3位数为1的数，其他3位数可以是000~ab9,共有1+ab9种情况，即该数可以为(00~ab)1(0~9)；

    - 如果c=1，对于1~n中第3位数为1的数，其他3位数可以是000~abd,共有1+abd种情况，即该数可以为(00~ab)1(0~d)；

    - 如果c=0，对于1~n中第3位数为1的数，其他3位数可以是000~(ab-1)9,共有1+(ab-1)9种情况，即该数可以为(00~ab-1)1(0~9)。

    

- 对于n中的第2位数b：

    - 如果b>1，对于1~n中第2位数为1的数，其他3位数可以是000~a99,共有1+a99种情况，即该数可以为(0~a)1(00~99)；

    - 如果b=1，对于1~n中第2位数为1的数，其他3位数可以是000~acd,共有1+acd种情况，即该数可以为(0~a)1(00~cd)；

    - 如果b=0，对于1~n中第2位数为1的数，其他3位数可以是000~(a-1)99,共有1+(a-1)99种情况，即该数可以为(0~a-1)1(00~99)。

    

- 对于n中的第1位数a：

    - 如果a>1，对于1~n中第1位数为1的数，其他3位数可以是000~999,共有1+999种情况，即该数可以为1(000~999)；

    - 如果a=1，对于1~n中第1位数为1的数，其他3位数可以是000~bcd,共有1+bcd种情况，即该数可以为1(000~bcd)；

以上只是拿4位数举例子，无论n是几位数，规律都是和上面一样，可以依此法编写代码。

 

举例：

    拿21058举个例子，从右往左逐位分析：

    对于第5位8：

        对于1~n中第5位数为1的数，左边的四位可以是0000~2105，共有2106种情况，即该数可以为(0~2105)1

    对于第4位5：

        对于1~n中第4位数为1的数，剩余的四位可以是0000~2109，共有2110种情况，即该数可以为(0~210)1(0~9)

    对于第3位0：

        对于1~n中第3位数为1的数，剩余的四位可以是0000~2099，共有2100种情况，即该数可以为(00~20)1(00~99)

    对于第2位1：

        对于1~n中第2位数为1的数，剩余的四位可以是0000~2058，共有2059种情况，即该数可以为(0~2)1(000~058)

    对于第1位2：

        对于1~n中第1位数为1的数，剩余的四位可以是0000~9999，共有10000种情况，即该数可以为1(0000~9999)

    因此，共有2106+2110+2100+2059+10000 = 18375种情况。

 

注意：这种方法并没有漏算，比如110中有两个1，当判断到第2位的时候，第1位的1被算进去了，判断到第1位的时候，第2位的1也被算进去了，所以110中计算了两种情况，这和题目是相符的。

复杂度分析

时间复杂度：O(L²)，其中L为数字n的长度(位数)，在此处 L= log₁₀n

空间复杂度：O(1)

 

根据以上分析，可以写出以下代码： 

class Solution {
public:
    int countDigitOne(int n) {
        int res = 0;
        int x = n;
        
        //首先计算n的总位数len
        int len = 0;
        while(x) {
            len++;
            x /= 10;
        }

        x = n;  // 假设n是4位数abcd, x=n=abcd
        
        for(int i = len; i >= 1; --i) {
            int m = x % 10; //m为当前第i位数的值
            x /= 10;        //x为当前第i位的左侧数字的大小(也就是n的前i位数的大小)
            if(i == len) {
                if(m >= 1) {
                    res += 1 + x;
                } else {
                    res += 1 + (x-1);
                }
            } else {
                if(m > 1) {
                    int rightDigitNum = len-i;
                    int t = x;
                    for(int j = 1; j <= rightDigitNum; ++j) {
                        t = t*10 + 9;
                    }

                    res += 1 + t;
                } else if(m == 1) {
                    int t = x;
                    int r = 1;
                    int rightDigitNum = len-i;
                    for(int j = 1; j <= rightDigitNum; ++j) {
                        r *= 10;
                        t *= 10;
                    }

                    //n % r表示当前位右侧所有数字的大小
                    //最终算出来的t表示数字n去掉第i位数之后，剩余的数字的大小
                    t +=  n % r;    
                    res += 1 + t;

                } else {    // m == 0
                    int rightDigitNum = len-i;
                    int t = x-1;
                    for(int j = 1; j <= rightDigitNum; ++j) {
                        t = t*10 + 9;
                    }

                    res += 1 + t;

                }
            }
        }
        return res;
    }

};