强联通分量
强连通：有向图 (G) 强连通表示，(G) 中任意两个结点连通。
强连通分量（ Strongly Connected Components ，简称 (operatorname{SCC}) ）：极大的 强连通子图。
Tarjan
维护了以下两个变量：
-
(dfn) ：深度优先搜索遍历时结点 (u) 被搜索的次序 。
-
(low) ：设以 (u) 为根的子树为 (subtree(u)) 。 (low) 定义为以下结点的 (dfn) 的最小值： (subtree(u)) 中的结点；从 (subtree(u)) 通过 一条 不在搜索树上的边能到达的结点 。
从根开始的一条路径上的 (dfn) 严格递增，(low) 严格非降。
对于一个连通分量图，我们很容易想到，在该连通图中有且仅有一个 (dfn[u]=low[u]) 。该结点一定是在深度遍历的过程中，该连通分量中第一个被访问过的结点，因为它的 (dfn) 值和 (low) 值最小，不会被该连通分量中的其他结点所影响。
因此，在回溯的过程中，判定 (dfn[u]=low[u]) 的条件是否成立，如果成立，则栈中从 后面的结点构成一个 (operatorname{SCC}) 。
P2341 [HAOI2006]受欢迎的牛 G (-) 模板
$ exttt{code}$
#define Maxn 10005
#define Maxm 50005
void tarjan(int u)
{
dfn[u]=low[u]=++Time; s.push(u),ins[u]=true;
for(int i=hea[u];i;i=nex[i])
{
if(!dfn[ver[i]]) tarjan(ver[i]),low[u]=min(low[ver[i]],low[u]);
else if(ins[ver[i]]) low[u]=min(dfn[ver[i]],low[u]);
}
if(dfn[u]==low[u])
{
sum+=1;
do
{
belong[u]=sum;
u=s.top(); s.pop(); ins[u]=false;
cnt[sum]+=1;
} while(dfn[u]!=low[u]);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);
时间复杂度 (O(n+m)) 。
Kosaraju
复杂度 (O(n+m)) 。
Garbow
复杂度 (O(n+m)) 。
我们可以利用强联通分量将一张图的每个强连通分量都缩成一个点。
然后这张图会变成一个 (operatorname{DAG})，可以进行拓扑排序以及更多其他操作 。
应用 (-) 缩点
for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);
for(int i=1;i<=tot[0];i++)
if(belong[fro[0][i]]!=belong[ver[0][i]])
add(1,belong[fro[0][i]],belong[ver[0][i]]),ind[belong[ver[0][i]]]++;
topo();
割点与桥
在无向图中删去这个点 (/) 边会使极大强联通增大，那么这个点 (/) 边为割点 (/) 桥 。
注意这里的 (dfn) 表示不经过父亲，能到达的最小的 (dfn) 。
割点
关键条件：
-
若 (u) 是根节点，当至少存在 (2) 条边满足 (low[v] >= dfn[u]) 则 (u) 是割点 。
-
若 (u) 不是根节点，当至少存在 (1) 条边满足 (low[v] >= dfn[u]) 则 (u) 是割点 。
$ exttt{code}$
void tarjan(int u,int fa)
{
dfn[u]=low[u]=++Time;
for(int i=hea[u];i;i=nex[i])
{
if(!dfn[ver[i]])
{
tarjan(ver[i],u),low[u]=min(low[ver[i]],low[u]);
if(low[ver[i]]>=dfn[u]) cnt[u]+=1;
}
else if(ver[i]!=fa) low[u]=min(dfn[ver[i]],low[u]);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) cnt[i]-=1,tarjan(i,0);
for(int i=1;i<=n;i++) if(cnt[i]>=1) ans+=1;
割边（桥）
关键条件：
- 当存在一条边条边满足 (low[v] > dfn[u]) 则边 (i) 是割边
关键部分的代码：
注意：记录上一个访问的边时要记录边的编号，不能记录上一个过来的节点（因为会有重边）！！！
$ exttt{code}$
void tarjan(int x,int Last_edg)
{
dfn[x]=low[x]=++Time;
for(int i=hea[x];i;i=nex[i])
{
if(!dfn[ver[i]])
{
tarjan(ver[i],i);
low[x]=min(low[x],low[ver[i]]);
if(low[ver[i]]>dfn[x]) edg[i]=edg[i^1]=1;
}
else if(i!=(Last_edg^1)) low[x]=min(low[x],dfn[ver[i]]);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i,0);
for(int j=2;j<=tot;j+=2) ans+=tag[j];
双联通分量
边双联通分量
显然，找出每一个桥，去掉这些桥之后的每一个联通块都是一个边双联通字图。
注意：用边双缩点的时候先处理出割边，之后用 ( ext{dfs}) 求出每一个双联通分量，不用栈！！
例题：P2860 [USACO06JAN]Redundant Paths G
$ exttt{solution}$
一句话题意：要将原图转化为边双联通图需要添加的最少边数
我们可以先将所有的桥找出来，并同时对所有边双缩点，会得到一颗缩完点的、由桥构成的“树”。
我们发现这棵“树”上“叶子结点”的个数除二向上取整就是需要添加的边的条数。
点双连通分量
回忆 (low) 的定义，就是 (x) 的子树内最多经过一条反祖边或一条向父亲的边能够到达的最小的 (dfn) 值。
当 (x) 不是这个连通块的根时，如果存在一条边满足 (low(ver)ge dfn(x))，那么 (x) 就是一个个点。
而 (x) 是根时，(x) 需要存在至少两条边满足以上条件。
这是因为当 (x) 为根时，没有父亲与之相连。
那么当我们在求点双时，只需要判断子树内的 (low) 是否会 (<dfn(x))，若会，则说明子树中的点能够到达 (x) 的祖先，(x) 必然不是个点。而若不会，即 (low(ver)ge dfn(x))，则说明 (x) 是这个点双的顶端个点，这时可以将递归进入的点都弹出，直至栈顶元素变为 (ver)，再将 (ver) 从栈中弹出，加上 (x) 就是这个点双联通分量了。
还要注意孤立点的情况。
如果需要处理点双中点的个数，那么可以在栈中存放点，例如一下代码：
void tarjan(int x)
{
dfn[x]=low[x]=++Time,sta[++tp]=x;
if(tp==1 && !hea[x]) { SCC[++sum].pb(x); return; }
for(int i=hea[x];i;i=nex[i])
{
if(!dfn[ver[i]])
{
tarjan(ver[i]);
low[x]=min(low[x],low[ver[i]]);
if(low[ver[i]]>=dfn[x])
{
sum++;
do { SCC[sum].pb(sta[tp--]); }while(sta[tp+1]!=ver[i]);
SCC[sum].pb(x);
}
}
else low[x]=min(low[x],dfn[ver[i]]);
}
}
而如果需要处理点双中的边，那么就需要在栈中存边，如以下代码：
void tarjan(int x,int fa)
{
dfn[x]=low[x]=++Time;
int cntson=0;
for(int i=hea[x];i;i=nex[i])
{
if(!dfn[ver[i]])
{
sta[++tp]=i,tarjan(ver[i],i),cntson++;
low[x]=min(low[x],low[ver[i]]);
if(low[ver[i]]>=dfn[x])
{
isdian[x]=true,sum++;
int tmp=0;
do
{
tmp=sta[tp--];
scc[sum].pb(fro[tmp]);
scc[sum].pb(ver[tmp]);
}while(tmp!=i);
}
}
else if(i!=(fa^1)) low[x]=min(low[x],dfn[ver[i]]);
}
if(fa==0 && cntson==1) isdian[x]=false;
}