【NOIP模拟赛】一道挖掉背景的数学题

Title:【Empty】#

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Description##

给定n与p,求(leftlfloor x^n ight floor \% p),x=(frac{sqrt{5}+1}{2})。

Input Format##

输入一行，两个非负整数n,p。

Output Format##

输出一个整数，表示答案

Sample Input##

5 97

Sample Output##

11

Solution##

今天写道数学题吧OwO

这道题我们看到(frac{{sqrt 5 { m{ + }}1}}{2})，那么我们容易想到另一个无理数(frac{1-sqrt 5}{2})对吧？

因为这两个无理数是方程(t^2-t-1=0)的两根

那么数学好的大佬肯定一眼看出这个特征方程对应的递推通式是(f[i]=f[i-1]+f[i-2])

我们首先设(x1=frac{{sqrt 5 { m{ + }}1}}{2})，(x2=frac{1-sqrt 5}{2})

那么其实这个递推式的通式其实就是(f[n]=c1*x1^n+c2*x2^n)

具体这个递推式是什么呢？我们并不在乎对吧（引用：我又不是数学老师）

为了得到(x1^n)，我们不妨假设这个递推式的通项式为(f[n]=(frac{{sqrt 5 { m{ + }}1}}{2})^n+(frac{1-sqrt 5}{2})^n)

首先我们将0,1带入递推通式得到(f_0=2,f_1=1)，那么我们所得到的递推式每一项都必然是一个整数

由于(-1<frac{1-sqrt 5}{2}<0)，显然(egin{cases} -1<(frac{1-sqrt 5}{2})^n<0& ext{n%2==1} \ 0<(frac{1-sqrt 5}{2})^n<1& ext{n%2==0} end{cases})

那么我们只要对于n的奇偶性讨论一下，如果是奇就直接输出(f[n])，否则输出(f[n]-1)

剩下就是一个矩阵乘法求递推第n项，因此很容易求解

#include<cstdio>
long long n;
int zqm,f0,f1;
struct r{
	int a,b,c,d;
}a,c;
r operator *(r a,r b){
	r c;
	c.a=(a.a*1ll*b.a+a.b*1ll*b.c)%zqm;
	c.b=(a.a*1ll*b.b+a.b*1ll*b.d)%zqm;
	c.c=(a.c*1ll*b.a+a.d*1ll*b.c)%zqm;
	c.d=(a.c*1ll*b.b+a.d*1ll*b.d)%zqm;
	return c;
}
int main()
{
	scanf("%lld%d",&n,&zqm);
	f0=2,f1=1;
	if (n==0){
		printf("%d
",1%zqm);
		return 0;
	}
	if (n==1){
		printf("%d
",1%zqm);
		return 0;
	}
	n-=2;
	int ans=0;
	if (!(n&1)) ans--;
	a=(r){1,1,1,0};
	c=a;
	while (n){
		if ((n&1)) c=c*a;
		a=a*a,n>>=1;
	}
	ans=(c.a*1ll*f1+f0*1ll*c.b+ans)%zqm;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}