二、算法复杂度分析
如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？
时间、空间复杂度分析。
为什么需要复杂度分析？
你可能会有些疑惑，我把代码跑一遍，通过统计、监控，就能得到算法执行的时间和占用的内存大 小。为什么还要做时间、空间复杂度分析呢？这种分析方法能比我实实在在跑一遍得到的数据更准 确吗？ 首先，我可以肯定地说，你这种评估算法执行效率的方法是正确的。很多数据结构和算法书籍还给 这种方法起了一个名字，叫事后统计法。但是，这种统计方法有非常大的局限性。
1.测试结果非常依赖测试环境。
2.测试结果受数据规模影响很大
3.大O复杂度表示法
1 int cal(int n) { 2 int sum = 0; 3 int i = 1; 4 for (; i <= n; ++i) { 5 sum = sum + i; 6 } 7 return sum; 8 }
从 CPU 的角度来看，这段代码的每一行都执行着类似的操作：读数据 - 运算 - 写数据。尽管每行代码 对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样，但是，我们这里只是粗略估计，所以可以假设每 行代码执行的时间都一样，为 unit_time 。在这个假设的基础之上，这段代码的总执行时间是多少 呢？ 第 2 、 3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 4 、 5 行都运行了 n 遍，所以需要 2nunit_time 的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2)*unit_time 。可以看出来，所有代 码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。
按照这个分析思路，我们再来看这段代码。
1 int cal(int n) { 2 int sum = 0; 3 int i = 1; 4 int j = 1; 5 for (; i <= n; ++i) { 6 j = 1; 7 for (; j <= n; ++j) { 8 sum = sum + i * j; 9 } 10 } 11 }
我们依旧假设每个语句的执行时间是 unit_time 。那这段代码的总执行时间 T(n) 是多少呢？ 第 2 、 3 、 4 行代码，每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 5 、 6 行代码循环执行了 n 遍，需要
2n * unit_time的执行时间，第7,8行执行了n^2遍，所以需要2n^2*unit_time的执行时间。所以整段代码执行时间
T(n)=(2n^2+2n+3)*unit_time.
尽管我们不知道 unit_time 的具体值，但是通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可以得到一 个非常重要的规律，那就是，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比。 我们可以把这个规律总结成一个公式。
大O记号
其中， T(n)表示代码执行的时间； n 表示数据规模的大小； f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。公式中的O ，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。 所以，第一个例子中的 T(n) = O(2n+2) ，第二个例子中的 T(n) = O(2n +2n+3) 。
这就是大 O 时间复杂度表示法。
大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（ asymptotic time complexity ），简称时间复杂度。 当 n 很大时，你可以把它想象成 10000 、 100000 。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增 长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大 O 表示法表示刚讲的 那两段代码的时间复杂度，就可以记为： T(n) = O(n) ； T(n) = O(n ) 。
时间复杂度分析
如何分析一段代码的时间复杂度？有三个比较实用的方法。
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只关注循环执行次数最多的一段代码 大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以，我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的 n的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度。
那前面的第一个例子来说，其中第 2 、 3 行代码都是常量级的执行时间，与 n 的大小无关，所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第 4 、 5 行代码，所以这块代码要重点分析。前面我们也讲过，这两行代码被执行了 n 次，所以总的时间复杂度就是 O(n)
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加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
//前100个数相加 int cal(int n) { int sum_1 = 0; int p = 1; for (; p < 100; ++p) { sum_1 = sum_1 + p; } //前n个数 int sum_2 = 0; int q = 1; for (; q < n; ++q) { sum_2 = sum_2 + q; } // int sum_3 = 0; int i = 1; int j = 1; for (; i <= n; ++i) { j = 1; for (; j <= n; ++j) { sum_3 = sum_3 + i * j; } } return sum_1 + sum_2 + sum_3; }
这个代码分为三部分，分别是求 sum_1 、 sum_2 、 sum_3 。我们可以分别分析每一部分的时间复杂 度，然后把它们放到一块儿，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。
第一段的时间复杂度是多少呢？这段代码循环执行了 100 次，所以是一个常量的执行时间，跟 n 的 规模无关。 这里我要再强调一下，即便这段代码循环 10000 次、 100000 次，只要是一个已知的数，跟 n 无 关，照样也是常量级的执行时间。当 n 无限大的时候，就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很 大影响，但是回到时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋 势，所以不管常量的执行时间多大，我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。 那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是多少呢？答案是 O(n) 和 O(n )。
综合三段代码的时间复杂度，我们取最大的量级，即总的复杂度为O(n^2)
也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那我们将这个规律抽 象成公式就是： 如果 T1(n)=O(f(n)) ， T2(n)=O(g(n)) ；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n),g(n))).
3.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外复杂度的乘积。
如果T1(n)=O(f(n)），T2(n)=O(g(n))；
那么T（n）=T1（n）xT2（n）=O(f(n))xO(g(n))=O(f(n)xg(n)). 也就是说，假设T1（n）=O（n），T2（n）=O（n^2），则T1（n）xT2（n）=O（n^3）。
落实到具体的代码上
1 int cal(int n) { 2 int ret = 0; 3 int i = 1; 4 for (; i < n; ++i) { 5 ret = ret + f(i); 6 } 7 } 8 9 int f(int n) { 10 int sum = 0; 11 int i = 1; 12 for (; i < n; ++i) { 13 sum = sum + i; 14 } 15 return sum; 16 }
我们单独看cal（）函数。假设f()只是一个普通的操作，那第4~6行的时间复杂度就是，T1(n)=O(n)。
但f()函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是T2(n)=O(n)，所以，整个cal）函数的时间复杂度就是，T(n)=T1(n)xT2(n)=O(nxn)=O（n2）。
常见的时间复杂度实例分析
分类：
多项式量级：
非多项式量级：O(2n)和O(n!)。
我们把复杂度为非多项式量级的算法问题叫做NP(Non-Deterministic Polynomial,非确定多项式)问题。
当数据规模n越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此，关于NP时间复杂度问题略。
主要来看几种常见的多项式时间复杂度。
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