[拉格朗日插值法][dp] Luogu P4463 calc

题目描述

一个序列a_1,cdots,a_na1​,⋯,an​是合法的，当且仅当：

长度为给定的nn。

a_1,cdots,a_na1​,⋯,an​都是[1,A][1,A]中的整数。

a_1,cdots,a_na1​,⋯,an​互不相等。

一个序列的值定义为它里面所有数的乘积，即a_1 imes a_2 imescdots imes a_na1​×a2​×⋯×an​。

求所有不同合法序列的值的和。

两个序列不同当且仅当他们任意一位不一样。

输出答案对一个数modmod取余的结果。

题解

• 我们可以先统计出数值递增的贡献和，为贡献和*n!
• 设f[i][j]表示前i个数选的值都小于等于j的贡献和，转移为f[i][j]=f[i-1][j-]*j+f[i][j-1]
• 然后呢我们就可以暴力做拉格朗日插值法就好了

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define ll long long 
int a,n,mo,res,m,f[510][1010],y[1010];
using namespace std;
int ksm(int a,int b) { int r=1; for (;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mo) if (b&1) r=1ll*r*a%mo; return r; }
int change(int x)
{
    if (x>=1&&x<=m) return y[x];
    int r=0;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int p=y[i],q=1;
        for (int j=1;j<=m;j++) if (i!=j) p=1ll*p*(x-j)%mo,q=1ll*q*(i-j)%mo;
        p<0?p+=mo:0,q<0?q+=mo:0,r=(r+1ll*p*ksm(q,mo-2))%mo;
    }
    return r;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&a,&n,&mo),res=1,m=2*n+1;
    for (int i=1;i<=n;i++) res=1ll*res*i%mo;
    for (int i=0;i<=m;i++) f[0][i]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=m;j++) f[i][j]=(1ll*f[i-1][j-1]*j+f[i][j-1])%mo;
    for (int i=1;i<=m;i++) y[i]=f[n][i];
    printf("%lld",1ll*res*change(a)%mo);     
}