[kruskal][Trie] Codeforces 888G Xor-MST

题目描述

You are given a complete undirected graph with nn vertices. A number a_{i}ai​ is assigned to each vertex, and the weight of an edge between vertices ii and jj is equal to a_{i}xora_{j}ai​xoraj​ .

Calculate the weight of the minimum spanning tree in this graph.

输入输出格式

输入格式：

The first line contains nn ( 1<=n<=2000001<=n<=200000 ) — the number of vertices in the graph.

The second line contains nn integers a_{1}a1​ , a_{2}a2​ , ..., a_{n}an​ ( 0<=a_{i}<2^{30}0<=ai​<230 ) — the numbers assigned to the vertices.

输出格式：

Print one number — the weight of the minimum spanning tree in the graph.

输入输出样例

输入样例#1： 

5
1 2 3 4 5

输出样例#1： 

8

输入样例#2：

4
1 2 3 4

输出样例#2：

8

题解

• 先考虑如何处理异或，比较常规的做法就是建一棵Trie，求最小生成树，则用Kruskal
• 考虑dfs到一个点x，如果它有左右两个儿子，注意左右两子树已经递归地被连通成一个连通块了，那么还需要一条边连接它的左右两棵子树对应的连通块
• 我们可以暴力地找这条边，同时从左右两边走下去，如果能同时走左边就同时走左边，能同时走右边就同时走右边，都能就都走
• 这样的话时间似乎会超时，但根据启发式合并的思想，每次连边的复杂度等于 树的深度×小的子树的大小，故DFS+连边总时间不超过O(nlog^2n)

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define ll long long
using namespace std;
int const N=30,M=2e5+1;
struct tree{ int son[2],d; }t[N*M]; 
int n;
ll ans,root,tot,r,mi[N],a[M];
void merge(int x,int y,ll k)
{
    if (t[x].d==N) { r=min(r,k); return; }
    bool flag=false;
    for (int i=0;i<=1;i++) if (t[x].son[i]&&t[y].son[i]) merge(t[x].son[i],t[y].son[i],k),flag=true;
    if (!flag)
    {
        if (t[x].son[0]&&t[y].son[1]) merge(t[x].son[0],t[y].son[1],k+mi[N-t[x].d-1]); else merge(t[x].son[1],t[y].son[0],k+mi[N-t[x].d-1]);
    }
}
void dfs(int x)
{
    if (!x||t[x].d==N) return;
    for (int i=0;i<=1;i++) dfs(t[x].son[i]);
    if (t[x].son[0]&&t[x].son[1]) r=2e9,merge(t[x].son[0],t[x].son[1],mi[N-t[x].d-1]),ans+=r;
}
int main()
{
    mi[0]=1; for (int i=1;i<N;i++) mi[i]=mi[i-1]*2;
    scanf("%d",&n),root=tot=1;
    for (int i=1,x;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&a[i]),x=root;
        for (int j=0;j<N;j++)
        {
            int r=((mi[N-j-1]&a[i])>0);
            if (!t[x].son[r]) t[x].son[r]=++tot,t[tot].d=t[x].d+1;
            x=t[x].son[r];
        }
    }
    dfs(1),printf("%lld",ans);
}