莫比乌斯反演学习和积性函数学习

【数论】积性函数、莫比乌斯反演、狄利克雷卷积

莫比乌斯函数应该还是比较广为人知的吧

函数，它的定义如下：

（1）若，那么

（2）若，均为互异素数，那么

（3）其它情况下

对于函数，它有如下的常见性质：

    （1）对任意正整数有

                            

        （2）对任意正整数有

         

反演一般有两种形式

莫比乌斯反演的一般描述为：

     

 另一种做题非常常用的函数：

     

 我的目标就是先清理那些收藏夹的题目

luogu2257 YY的GCD(模板题)

题目描述

神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题

给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对

kAc这种傻×必然不会了，于是向你来请教……

多组输入

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数T 表述数据组数

接下来T行，每行两个正整数，表示N, M

输出格式：

T行，每行一个整数表示第i组数据的结果

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2
10 10
100 100

输出样例#1： 复制

30
2791

说明

T = 10000

N, M <= 10000000

题目要求的就是∑ni=1∑mj=1[gcd(x,y)=prim]

化简出来Ans=∑T=1min(n,m)⌊nT⌋⌊mT⌋(∑t|T,t∈primeμ(⌊Tt⌋))

就是整除分块啦

#include<bits/stdc++.h>
#define N 10000005
bool vis[N];
long long sum[N];
int prim[N];
int mu[N],g[N];
int cnt;
void get_mu()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2; i<N; i++)
    {
        if(!vis[i])
            mu[i]=-1,prim[++cnt]=i;
        for(int j=1; j<=cnt&&prim[j]*i<N; j++)
        {
            vis[i*prim[j]]=1;
            if(i%prim[j]==0)break;
            else mu[prim[j]*i]=-mu[i];
        }
    }
    for(int j=1; j<=cnt; j++)for(int i=1; i*prim[j]<N; i++)g[i*prim[j]]+=mu[i];
    for(int i=1; i<N; i++)sum[i]=sum[i-1]+g[i];
}
int n,m;
int main()
{
    get_mu();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n>m)std::swap(n,m);
        long long ans=0;
        for(int l=1,r; l<=n; l=r+1)
            r=std::min(n/(n/l),m/(m/l)),ans+=1ll*(n/l)*(m/l)*(sum[r]-sum[l-1]);
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}

 luoguP3327 [SDOI2015]约数个数和

题目描述

设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求 sum^N_{i=1}sum^M_{j=1}d(ij)∑i=1N​∑j=1M​d(ij)

输入输出格式

输入格式：

输入文件包含多组测试数据。第一行，一个整数T，表示测试数据的组数。接下来的T行，每行两个整数N、M。

输出格式：

T行，每行一个整数，表示你所求的答案。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2
7 4
5 6

输出样例#1： 复制

110
121

说明

1<=N, M<=50000

1<=T<=50000

这个函数比较套路