承接上一篇博文中的线性回归中的的cost function。我们想要找出能使得 J(θ)最小的θ（也叫weights）。
其中J(θ)如下所示：
为了做到使其值最小，让我们使用一个search algorithm，起先对θ做初始猜测，并且不断的改变θ来使得J(θ)最小，直到我们有希望地收敛于θ值最小化J(θ)。具体来说，我们考虑一下梯度下降算法（gradient desent algorithm）。
一、梯度下降算法（gradient desent algorithm）、batch gradient descent（批梯度下降）、stochastic gradient descent (also incremental gradient descent）随机梯度下降（递增梯度下降）
它开始于某个初始化的θ，并且不断地执行update（更新）：
这个更新同时执行了j从0到n。
参数： α是learning rate（学习率）。
这是一个很自然的算法，它就是不断重复执行一个朝J的最大减速方向（最陡下降方向）的步骤。
为了执行这个算法，我们必须弄清楚等式右边的偏导数项是什么。让我们首先解决这个问题，如果我们只有一个训练样例（x,y）（training sample）,那么我们就可以忽略J的定义公式中的求和sum。
针对一个单一的训练样例，给定update rule：
（这个rule就叫做LMS update rule，也叫做Widrow-Hoff learning rule）
当只有一个训练样例的时候，我们得出了LMS rule。对于多个示例的训练集，有两种方法可以修改此方法。
第一种方法就是用以下的算法替代它，
此算法查看每个步骤中整个训练集中的每个示例，并且也叫做batch gradient descent（批梯度下降）
第二种方法可以代替批梯度下降算法，同样也很好：
在这个算法中，我们反复运行训练集，并且每次遇到训练样例时，我们仅根据与单个训练样例相关的误差梯度来更新参数。这个算法叫做 stochastic gradient descent (also incremental gradient descent）随机梯度下降（递增梯度下降）。 batch gradient descent在执行一个step之前都要浏览一下整个训练集，但是这在m非常大的情况下是一个costly 的操作，同时，stochastic gradient descent 就可以make progress，并且持续对它所look at的每个样例make progress.因此，通常情况下，stochastic gradient descent 得到接近使得J最小值的θ要比batch gradient descent要更加快。但是要注意,它可能永远不会“收敛”到最低限度,和参数θ将振荡最小的J(θ);但在实践中，大部分接近最小值的值都是合理的接近最小值的近似。由于这些原因，特别是当训练集很大时，随机梯度下降通常比批量梯度下降更受欢迎。