LGV 引理 学习笔记

LGV 引理

狭义和广义是本人自己乱定义的，切勿当真。

LGV 引理（狭义）

对于一张有向无环图（有环不行）。

设我们有起点点集 \(A\)，和终点点集 \(B\)，且集合大小都为 \(t\)。

设一个矩阵 \(M\)，\(M_{i,j}\) 代表 \(A_i\to B_j\) 的路径方案数，则有：

\[\LARGE \det(M)=\sum\limits_S(-1)^{nxd(S)}C(S) \]

其中 \(S\) 为一个排列，第 \(i\) 个数为 \(x\) 代表从 \(A_i\) 走到 \(B_x\)。\(nxd(S)\) 就是求 \(S\) 的逆序对数量，\(C(S)\) 为 \(S\) 的方案数（即使得所有 \(A_i\to B_x\) 且路径不交的路径方案数）。

一般来说，是题目要求右边，我们用左边来求。当然，因为这个逆序对的条件极其苛刻，所以也伸展不开。

LGV 引理（广义）

方便理解，我们设立一个结构体 \(T_i\)，含有 \(x,P\)，代表从 \(a_i\to b_x\)，经过的路径为 \(P\)（可以当做一个数组 \(PATH\) 什么的）。

令 \(S\) 为 \(T_i\) 的集合。

然后设 \(w(P)\) 为 \(P\) 路径上的边权之积。\(e(a,b)\) 为 \(a\to b\) 每一条路径上的 \(w(p)\) 之和。

构造矩阵 \(M\) 使得第 \(i\) 行第 \(j\) 列为 \(e(A_i,B_j)\)。

则有：

\[\LARGE \det M=\sum\limits_S(-1)^{nxd(T_i.x)}\prod\limits_{i=1}^nw(T_i.P) \]

边权是可以任意定义的。统计路径方案数时，就令所有边权都为 1，于是就变成了狭义。特殊的题可以将边权设为所需要的，甚至边权是生成函数也可以！

例题

P6657 - 【模板】LGV 引理

https://www.luogu.com.cn/problem/P6657

让 \(a_i,b_i\) 都是从上向下排序。则如果它们不相交，只有一种情况，就是 \(\forall i,a_i\to b_i\)。此时 \(S\) 的逆序对为 0。所以狭义 LGV 引理化简为：

\[\det(M)=\sum\limits_S 1\times C(S) \]

发现右边就是答案，于是计算左边，左边也是答案，于是于是了。

P7736 - [NOI2021] 路径交点

https://www.luogu.com.cn/problem/P7736

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