能量魔方
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Description
小C 有一个能量魔方，这个魔方可神奇了，只要按照特定方式，放入不同的 能量水晶，就可以产生巨大的能量。 能量魔方是一个 N*N*N 的立方体，一共用 N3 个空格可以填充能量水晶。 能量水晶有两种： ·一种是正能量水晶(Positive) ·一种是负能量水晶(Negative) 当这个魔方被填满后，就会依据填充的能量水晶间的关系产生巨大能量。对 于相邻两(相邻就是拥有同一个面)的两个格子，如果这两个格子填充的是一正一 负两种水晶，就会产生一单位的能量。而整个魔方的总能量，就是这些产生的能 量的总和。 现在，小 C 已经在魔方中填充了一些水晶，还有一些位置空着。他想知道， 如果剩下的空格可以随意填充，那么在最优情况下，这个魔方可以产生多少能量。
Input
第一行包含一个数N，表示魔方的大小。 接下来 N2 行，每行N个字符，每个字符有三种可能： P：表示此方格已经填充了正能量水晶； N：表示此方格已经填充了负能量水晶； ?：表示此方格待填充。 上述 N*N 行，第(i-1)*N+1~i*N 行描述了立方体第 i 层从前到后，从左到右的 状态。且每 N 行间，都有一空行分隔。
Output
仅包含一行一个数，表示魔方最多能产生的能量
Sample Input
2
P?
??
P?
??
??
N?
Sample Output
9
explain：
PN
NP
NP
NN
PN
NP
NP
NN
HINT
n<=40
Main idea
给出一个n*n*n的矩阵，其中每一个方块可以涂两种颜色，相邻的两个方块如果涂上的颜色不同，就会产生能量。已知了一些方块的颜色，询问最多可以的最多能量。
Solution
发现n<=40，大胆猜测是个网络流。思考过后，发现直接求不好连边，那么我们考虑求出最小损耗，然后用(总收益)-(最小损耗)。
由于相邻的才对答案有贡献，所以我们想到了黑白染色，将所有点划分为两类，那么显然将相邻的点都连一条双向边，权值为1。然后我们考虑如何处理已经规定的点，这时候可以令S集表示1，令T集表示0，将白点的1连向T权值为INF，将S连向黑点的1权值为INF，这样就可以表示不可选了，点权为0则相反。然后跑一遍最小割，计算即可。
Code
1 #include<iostream>
2 #include<algorithm>
3 #include<cstdio>
4 #include<cstring>
5 #include<cstdlib>
6 #include<cmath>
7 using namespace std;
8 #define ID(x,y,z) ((z-1)*n*n + (x-1)*n + y)
9
10 const int ONE=70001;
11 const int TWO=1000001;
12 const int INF=1073741820;
13
14 int n,S,T;
15 char ch[ONE],c;
16 int a[45][45][45];
17 int next[TWO],first[TWO],go[TWO],w[TWO],tot;
18 int q[2000001],tou,wei;
19 int Dep[ONE],E[TWO];
20 int Ans;
21
22 int get()
23 {
24 int res=1,Q=1;char c;
25 while( (c=getchar())<48 || c>57 )
26 if(c=='-')Q=-1;
27 res=c-48;
28 while( (c=getchar())>=48 && c<=57 )
29 res=res*10+c-48;
30 return res*Q;
31 }
32
33 void Add(int u,int v,int z)
34 {
35 next[++tot]=first[u]; first[u]=tot; go[tot]=v; w[tot]=z;
36 next[++tot]=first[v]; first[v]=tot; go[tot]=u; w[tot]=0;
37 }
38
39 void Double_Add(int u,int v,int z)
40 {
41 Add(u,v,z);
42 Add(v,u,z);
43 }
44
45 int PD(int x,int y,int z)
46 {
47 return (x+y+z)%2;
48 }
49
50 int Bfs()
51 {
52 memset(Dep,0,sizeof(Dep));
53 tou=0; wei=1; Dep[0]=1; q[1]=0;
54 for(int u=0;u<=T-1;u++) E[u]=first[u];
55 while(tou<wei)
56 {
57 int u=q[++tou];
58 for(int e=first[u];e;e=next[e])
59 {
60 int v=go[e];
61 if(Dep[v] || !w[e]) continue;
62 Dep[v]=Dep[u]+1;
63 q[++wei]=v;
64 }
65 }
66 return Dep[T]>0;
67 }
68
69 int Dfs(int u,int Limit)
70 {
71 if(u==T || !Limit) return Limit;
72 int flow=0,f;
73 for(int &e=E[u];e;e=next[e])
74 {
75 int v=go[e];
76 if(Dep[v]!=Dep[u]+1 || !w[e]) continue;
77 f=Dfs(v,min(Limit,w[e]));
78 w[e]-=f;
79 w[((e-1)^1)+1]+=f;
80 Limit-=f;
81 flow+=f;
82 if(!Limit) break;
83 }
84 return flow;
85 }
86
87 int main()
88 {
89 cin>>n;
90
91 S=0; T=n*n*n+1;
92 for(int z=1;z<=n;z++)
93 for(int x=1;x<=n;x++)
94 {
95 scanf("%s",ch+1);
96 for(int y=1;y<=n;y++)
97 {
98 if(ch[y]=='?') a[x][y][z]=1;
99 if(ch[y]=='P') a[x][y][z]=2;
100 if(ch[y]=='N') a[x][y][z]=3;
101 }
102 }
103
104 for(int z=1;z<=n;z++)
105 for(int x=1;x<=n;x++)
106 for(int y=1;y<=n;y++)
107 {
108 if(a[x+1][y][z]) Double_Add(ID(x,y,z),ID(x+1,y,z),1),Ans++;
109 if(a[x][y+1][z]) Double_Add(ID(x,y,z),ID(x,y+1,z),1),Ans++;
110 if(a[x][y][z+1]) Double_Add(ID(x,y,z),ID(x,y,z+1),1),Ans++;
111
112 if(a[x][y][z]==2)
113 {
114 if(PD(x,y,z)) Add(S,ID(x,y,z),INF);
115 else Add(ID(x,y,z),T,INF);
116 }
117
118 if(a[x][y][z]==3)
119 {
120 if(PD(x,y,z)) Add(ID(x,y,z),T,INF);
121 else Add(S,ID(x,y,z),INF);
122 }
123 }
124
125 while(Bfs())
126 {
127 Ans-=Dfs(S,INF);
128 }
129
130 printf("%d",Ans);
131 }