联合省选的D1T2放出了一道裸的斯特林数，幸亏之前推过第二类斯特林数求自然数幂和，所以很幸运地切了。
这次比赛之后dyp和gmh77疯狂学斯特林数，从此免疫。
惊得我也系统地学一下斯特林数做做样子。
概念
第一类斯特林数：记为(s(m,n))（也可以用中括号表示），组合意义为(m)个数形成(n)个圆排列的方案数。
有个比较系统的定义：(s(m,n)=[x^n]prod_{i=0}^{m-1}(x+i))
性质：
(s(m,n)=(m-1)*s(m-1,n)+s(m-1,n-1))
组合意义可证。
(sum_{k=0}^ns(n,k)=n!)
每一种排列，对应着一种轮换。意思记排列为(p)，(i)向(p_i)连边，这样就会形成若干个环。
第二类斯特林数：记为(S(m,n))（也可以用大括号表示），组合意义为(m)个数形成(n)个集合的方案数。
性质：
(S(m,n)=n*S(m-1,n)+S(m-1,n-1))
组合意义可证。
(S(m,n)=frac{1}{n!}sum_{k=0}^{n}(-1)^kC(n,k)(n-k)^m)
反演得到（下面有提及）。
(sum_{k=0}^nS(n,k)=B_n)
(B)表示贝尔数。
有符号斯特林数：顾名思义就是有符号的斯特林数。
(s_s(m,n)=-(m-1)*s_s(m-1,n)+s_s(m-1,n-1))
(S_s(m,n)=-n*S_s(m-1,n)+S_s(m-1,n-1))
下标(s)意思为“signed”
打个表出来可以发现
(s_s(m,n)=(-1)^{m-n}s(m,n))
(S_s(m,n)=(-1)^{m-n}S(m,n))
性质
(s(m,n)geq S(m,n))
排列数大于等于集合数。
普通幂、上升幂、下降幂相关：（这个在推式子的时候经常能够用到！）
(x^n=sum_{k=0}^nS(n,k)x^{underline k})
(x^n=sum_{k=0}^nS(n,k)(-1)^{n-k}x^{overline k}=sum_{k=0}^nS_s(n,k)x^{overline k})
(x^{overline n}=sum_{k=0}^ns(n,k)x^k)
(x^{underline n}=sum_{k=0}^ns(n,k)(-1)^{n-k}x^k=sum_{k=0}^ns_s(n,k)x^k)
具体证明嘛，各种归纳，各种组合意义。
快速求斯特林数
第一类斯特林数：
把定义式搬下来：(s(m,n)=[x^n]prod_{i=0}^{m-1}(x+i))
记(s_m(x)=prod_{i=0}^{m-1}(x+i))
考虑倍增求这个东西。从(s_m(x))推到(s_{2m}(x))时：
(s_{2m}(x)=s_{m}(x)s_m(x+m))
快速求出(s_m(x+m))。设(s_m(x)=sum_{i=0}^ms_{m,i}x^i)。之前已经求出(s_{m,i})。
(s_m(x+m)=sum_{i=0}^ms_{m,i}(x+m)^i)
二项式展开一下，推一波式子，就可以发现一个卷积。
于是计算(s_m(x+m))的时间复杂度是(O(mlg m))的。
由于(m)是两倍两倍地扩大，所以总的时间复杂度也是(O(m lg m))。
第二类斯特林数：
把上面那个普通幂转下降幂的式子搬下来，简单反演一下，得到：
(n!S(m,n)=sum_{k=0}^{n}(-1)^kC(n,k)(n-k)^m)
把后面的那个组合数拆开，可以发现这是个很明显的卷积形式。
时间复杂度(O(n lg n))
斯特林反演
(f(n)=sum_{k=0}^n S(n,k)g(k)
Longleftrightarrow g(n)=sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}s(n,k)f(k))
有个叫反转公式的东西：
(sum_ks(n,k)S(k,m)(-1)^{n-k}=[m=n])
(sum_kS(n,k)s(k,m)(-1)^{n-k}=[m=n])
关于这个怎么证明……最严谨的方法应该是归纳。
写公式太麻烦，直接口胡一下证明的思路（挺好推的）。
比如上面这条式子：(sum_ks(n,k)S(k,m)(-1)^{n-k}=[m=n])
先将(s(n,k))用递推式拆开，展开一下。
再将(S(k,m))用递推式拆开，展开一下。
照着这么做就可以很自然地归纳证明出来了。
另一条式子也可以类似地推出来。
看了一些博客，有些博客里面写了一种不是很严谨的证明方法：
具体就是取一个普通幂(n^m)，将它先用第二类斯特林数表示成下降幂多项式，然后将这个下降幂用第一类斯特林数表示成普通幂。
推推式子就会得到这样：(n^m=sum_{j=0}^mn^jsum_{k=j}^mS(m,k)s(k,j)(-1)^{j-k})
然后谁告诉我，这怎么就能直接得到(sum_{k=j}^mS(m,k)s(k,j)(-1)^{j-k}=[j=m])了？？？
这种方法只能解释假设反转公式成立，这个东西也成立；但不能反过来推啊……
如果设矩阵(F_{i,j}=S(i,j))，(G_{i,j}=(-1)^{i-j}s(i,j))
（或者(F_{i,j}=s(i,j))，(G_{i,j}=(-1)^{i-j}S(i,j))）
不难发现(F*G=E)，即(F)和(G)互逆。
拉赫数（第三类斯特林数？）
似乎只有维基上略有提及，所以不够详细请见谅。
有错误请指出。
无符号拉赫数：
上升幂和下降幂定义：
(x^{overline n}=sum_{k=0}^nL(n,k)x^{underline n})
(x^{underline n}=sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}L(n,k)x^{overline n})
递推式定义：(L(m,n)=L(m-1,n-1)+(n-1+m)L(m,n-1))
矩阵乘法定义：(L(m,n)=sum_k s(m,k)S(k,n))
有符号拉赫数：
上升幂和下降幂定义：
(x^{overline n}=(-1)^nsum_{k=0}^nL_s(n,k)x^{underline n})
(x^{underline n}=(-1)^ksum_{k=0}^{n}L_s(n,k)x^{overline n})
(L_s(m,n)=(-1)^mL(m,n))
性质：
(L(m,n)=C(m-1,n-1)frac{m!}{n!})
归纳可证：
(sum_kL_s(m,k)L_s(k,n)=sum_k(-1)^{m-k}L(m,k)L(k,n)=[m=n])
(L(n,k)=n![x^n]frac{1}{k!}(frac{x}{1-x})^k)
参考资料
https://www.cnblogs.com/Wuweizheng/p/8638858.html
https://www.cnblogs.com/hchhch233/p/10016543.html
https://www.cnblogs.com/owenyu/p/6724661.html
https://www.cnblogs.com/gzy-cjoier/p/8426987.html
百度百科
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