数矩形
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Description
最近某歌手在研究自己的全国巡回演出,他将所有心仪的城市都用平面上一个点来表示,并打算从中挑选出4个城市作为这次巡回演出的地点。
为了显示自己与众不同,他要求存在一个矩形使得挑选出的4个点恰好是这个矩形的4个顶点,并且希望这个矩形的面积最大。
这可急坏了经纪人,于是他向全球歌迷征集方案,当然你这位歌迷一定不会错过这个机会。
Input
第一行是一个正整数N,表示平面上点的个数(即某歌手心仪的城市数)。
接下来N行,每行是两个整数Xi,Yi,表示对应点的坐标。
Output
输出一个数,表示最大矩形面积。
Sample Input
8
-2 3
-2 -1
0 3
0 -1
1 -1
2 1
-3 1
-2 1
Sample Output
10
HINT
1<=N<=1500 , -10^8<=Xi,Yi<=10^8
Main idea
给出平面上的若干个点,求出可由这些点作为顶点构成的矩形的最大面积。
Solution
显然是一道计算几何题。
先考虑矩形的特征:对角线长度相同并且对角线的中点在同一位置。
然后我们可以n^2枚举出所有对角线的长度并且求出其中点位置,按照长度为第一关键字,中点坐标为第二关键字sort一遍,那么显然可构成矩形的四个点的对角线一定是连续的。
然后我们枚举所有情况,用矢量叉积来求矩形的面积。
证明一下复杂度:发现最坏情况应该是所有的中点聚集在同一个点上,以其作为圆心,对角线长度作为直径拓展出成为一个圆,这样的话会有1500/2条长度相同的需要枚举的边,但是由于这是一个圆,所以两点连线不作为直径的构成的边几乎都是不需要枚举的,复杂度正确。
Code
1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstdio> 4 #include<cstring> 5 #include<cstdlib> 6 #include<cmath> 7 #include<queue> 8 using namespace std; 9 10 const int ONE=1505; 11 12 int n; 13 int cnt,num; 14 int l[ONE*ONE],r[ONE*ONE]; 15 long long Ans; 16 17 struct power 18 { 19 long long x,y; 20 }a[ONE]; 21 22 struct point 23 { 24 long long dist; 25 int i,j; 26 power mid; 27 }b[ONE*ONE]; 28 29 int cmp(const point &a,const point &b) 30 { 31 if(a.dist<b.dist) return 1; 32 if(a.dist>b.dist) return 0; 33 if(a.dist==b.dist) 34 { 35 if(a.mid.x<b.mid.x) return 1; 36 if(a.mid.y<b.mid.y) return 1; 37 } 38 return 0; 39 } 40 41 int get() 42 { 43 int res,Q=1; char c; 44 while( (c=getchar())<48 || c>57) 45 if(c=='-')Q=-1; 46 if(Q) res=c-48; 47 while((c=getchar())>=48 && c<=57) 48 res=res*10+c-48; 49 return res*Q; 50 } 51 52 long long Get_dist(power a,power b) 53 { 54 return (a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y); 55 } 56 57 long long Get_area(power a1,power a2,power b1,power b2) 58 { 59 long long x1=a2.x-a1.x, y1=a2.y-a1.y; 60 long long x2=b2.x-b1.x, y2=b2.y-b1.y; 61 return abs( (x1*y2)-(x2*y1) ); 62 } 63 64 65 66 void Deal() 67 { 68 for(int k=1;k<=num;k++) 69 { 70 if(l[k]==r[k]) continue; 71 for(int i=l[k];i<=r[k];i++) 72 for(int j=i+1;j<=r[k];j++) 73 { 74 Ans=max(Ans,Get_area( a[b[i].i],a[b[i].j] , a[b[j].i],a[b[j].j]) ); 75 } 76 } 77 } 78 79 int main() 80 { 81 n=get(); 82 for(int i=1;i<=n;i++) 83 { 84 a[i].x=get(); a[i].y=get(); 85 } 86 87 for(int i=1;i<=n;i++) 88 for(int j=i+1;j<=n;j++) 89 { 90 b[++cnt].dist=Get_dist(a[i],a[j]); 91 b[cnt].mid.x=(a[i].x+a[j].x); 92 b[cnt].mid.y=(a[i].y+a[j].y); 93 b[cnt].i=i; b[cnt].j=j; 94 } 95 96 sort(b+1,b+cnt+1,cmp); 97 98 int i=0; 99 100 while(i<=cnt) 101 { 102 i++; 103 l[++num]=i; 104 while(b[i].dist==b[i+1].dist && b[i].mid.x==b[i+1].mid.x && b[i].mid.y==b[i+1].mid.y && i<=cnt) 105 { 106 i++; 107 } 108 r[num]=i; 109 } 110 111 Deal(); 112 printf("%lld",Ans/2); 113 114 }