• 【BZOJ2338】【HNOI2011】数矩形 [计算几何]


    数矩形

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    Description

      最近某歌手在研究自己的全国巡回演出,他将所有心仪的城市都用平面上一个点来表示,并打算从中挑选出4个城市作为这次巡回演出的地点。
      为了显示自己与众不同,他要求存在一个矩形使得挑选出的4个点恰好是这个矩形的4个顶点,并且希望这个矩形的面积最大。
      这可急坏了经纪人,于是他向全球歌迷征集方案,当然你这位歌迷一定不会错过这个机会。

    Input

      第一行是一个正整数N,表示平面上点的个数(即某歌手心仪的城市数)。
      接下来N行,每行是两个整数Xi,Yi,表示对应点的坐标。

    Output

      输出一个数,表示最大矩形面积。

    Sample Input

      8
      -2 3
      -2 -1
      0 3
      0 -1
      1 -1
      2 1
      -3 1
      -2 1

    Sample Output

       10

    HINT

      1<=N<=1500 , -10^8<=Xi,Yi<=10^8

    Main idea

      给出平面上的若干个点,求出可由这些点作为顶点构成的矩形的最大面积。

    Solution

      显然是一道计算几何题。
      先考虑矩形的特征:对角线长度相同并且对角线的中点在同一位置
      然后我们可以n^2枚举出所有对角线的长度并且求出其中点位置,按照长度为第一关键字,中点坐标为第二关键字sort一遍,那么显然可构成矩形的四个点的对角线一定是连续的。
      然后我们枚举所有情况,用矢量叉积来求矩形的面积。
      证明一下复杂度:发现最坏情况应该是所有的中点聚集在同一个点上,以其作为圆心,对角线长度作为直径拓展出成为一个圆,这样的话会有1500/2条长度相同的需要枚举的边,但是由于这是一个圆,所以两点连线不作为直径的构成的边几乎都是不需要枚举的,复杂度正确。

    Code

      1 #include<iostream>  
      2 #include<algorithm>  
      3 #include<cstdio>  
      4 #include<cstring>  
      5 #include<cstdlib>  
      6 #include<cmath>
      7 #include<queue>
      8 using namespace std;  
      9         
     10 const int ONE=1505;
     11  
     12 int n;
     13 int cnt,num;
     14 int l[ONE*ONE],r[ONE*ONE];
     15 long long Ans;
     16  
     17 struct power
     18 {
     19         long long x,y;
     20 }a[ONE];
     21  
     22 struct point
     23 {
     24         long long dist;
     25         int i,j;
     26         power mid;
     27 }b[ONE*ONE];
     28  
     29 int cmp(const point &a,const point &b)
     30 {
     31         if(a.dist<b.dist) return 1;
     32         if(a.dist>b.dist) return 0;
     33         if(a.dist==b.dist)
     34         {
     35             if(a.mid.x<b.mid.x) return 1;
     36             if(a.mid.y<b.mid.y) return 1;
     37         }
     38         return 0;
     39 }
     40  
     41 int get()
     42 {
     43         int res,Q=1;    char c;
     44         while( (c=getchar())<48 || c>57)
     45         if(c=='-')Q=-1;
     46         if(Q) res=c-48; 
     47         while((c=getchar())>=48 && c<=57) 
     48         res=res*10+c-48; 
     49         return res*Q; 
     50 }
     51  
     52 long long Get_dist(power a,power b)
     53 {
     54         return (a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y);
     55 }
     56  
     57 long long Get_area(power a1,power a2,power b1,power b2)
     58 {
     59         long long x1=a2.x-a1.x, y1=a2.y-a1.y;
     60         long long x2=b2.x-b1.x, y2=b2.y-b1.y;
     61         return abs( (x1*y2)-(x2*y1) );
     62 }
     63  
     64  
     65  
     66 void Deal()
     67 {
     68         for(int k=1;k<=num;k++)
     69         {
     70             if(l[k]==r[k]) continue;
     71             for(int i=l[k];i<=r[k];i++)
     72             for(int j=i+1;j<=r[k];j++)
     73             {
     74                 Ans=max(Ans,Get_area( a[b[i].i],a[b[i].j] , a[b[j].i],a[b[j].j]) );
     75             }
     76         }
     77 }
     78  
     79 int main()
     80 {
     81         n=get();
     82         for(int i=1;i<=n;i++)
     83         {
     84             a[i].x=get();   a[i].y=get();
     85         }
     86          
     87         for(int i=1;i<=n;i++)
     88         for(int j=i+1;j<=n;j++)
     89         {
     90             b[++cnt].dist=Get_dist(a[i],a[j]);
     91             b[cnt].mid.x=(a[i].x+a[j].x);
     92             b[cnt].mid.y=(a[i].y+a[j].y);
     93             b[cnt].i=i; b[cnt].j=j;
     94         }
     95          
     96         sort(b+1,b+cnt+1,cmp);
     97          
     98         int i=0;
     99          
    100         while(i<=cnt)
    101         {
    102             i++;
    103             l[++num]=i;
    104             while(b[i].dist==b[i+1].dist && b[i].mid.x==b[i+1].mid.x && b[i].mid.y==b[i+1].mid.y && i<=cnt)
    105             {
    106                 i++;
    107             }
    108             r[num]=i;
    109         }
    110          
    111         Deal();
    112         printf("%lld",Ans/2);
    113          
    114 }
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